Demonstre o Teorema de Green para o caso especial em que a região planar D é de tipo 1, ou seja, D=(x, y) in R^2: ca <= x <= b g1(x) <= y <= g2(x). Dica: Procure nas principais referências da componente curricular.

Passo 1

Neste exercício a gente quer demonstrar o Teorema de Green para uma região tipo 1
D = { (x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b e g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x) }
Mostrando que, para um campo vetorial (P,Q) com derivadas parciais contínuas, vale
$$ \oint_{\partial D} P,dx + Q,dy
= \iint_D \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) ,dA. $$
Vamos usar parametrização das bordas, o Teorema Fundamental do Cálculo e Fubini.

Passo 2

Orientamos ∂D positivamente (anti-horário) e separamos em quatro partes:
Γ₁ (borda inferior): x varia de a a b, y = g₁(x),
Γ₂ (borda direita): x = b, y varia de g₁(b) a g₂(b),
Γ₃ (borda superior): x varia de b a a, y = g₂(x),
Γ₄ (borda esquerda): x = a, y varia de g₂(a) a g₁(a).
Em cada trecho sabemos dx e dy.

Passo 3

Calculamos ∫_{∂D} P,dx. Nos trechos verticais Γ₂ e Γ₄ temos dx = 0, então só Γ₁ e Γ₃ contribuem:
Para Γ₁:
x=t, y=g₁(t), t∈[a,b] implies integralΓ₁P,dx = integrala^b Pl(t,g₁(t)r),dt
Para Γ₃ (orientação b→a):
x=t, y=g₂(t), t∈[b,a] implies integralΓ₃P,dx = integralb^a Pl(t,g₂(t)r),dt = -integrala^b Pl(t,g₂(t)r),dt
Somando:
integral∂DP,dx = integrala^b l[P(t,g₁(t)) - P(t,g₂(t))r],dt

Passo 4

Agora ∫_{∂D} Q,dy. Nos trechos horizontais Γ₁ e Γ₃ dy = g’(t) dt mas somam zero quando juntamos com P dx; de fato só Γ₂ e Γ₄ importam:
Para Γ₂:
y=s, x=b, s∈[g₁(b),g₂(b)] implies integralΓ₂Q,dy = integralg₁(b)^g₂(b) Ql(b,sr),ds
Para Γ₄ (orientação g₂(a)→g₁(a)):
y=s, x=a, s∈[g₂(a),g₁(a)] implies integralΓ₄Q,dy = integralg₂(a)^g₁(a) Ql(a,sr),ds = -integralg₁(a)^g₂(a) Ql(a,sr),ds
Somando:
integral∂DQ,dy = integralg₁(b)^g₂(b)Q(b,y),dy - integralg₁(a)^g₂(a)Q(a,y),dy

Passo 5

Juntando
$$ \oint_{\partial D}P,dx + Q,dy = \int_a^b\bigl[P(x,g₁(x)) - P(x,g₂(x))\bigr]dx
  • \Bigl[\int_{g₁(b)}^{g₂(b)}Q(b,y)dy - \int_{g₁(a)}^{g₂(a)}Q(a,y)dy\Bigr]. ointpartial DP,dx + Q,dy = integrala^bl[P(x,g₁(x)) - P(x,g₂(x))r]dx + l[integralg₁(b)^g₂(b)Q(b,y)dy - integralg₁(a)^g₂(a)Q(a,y)dyr] \int_{g₁(x)}^{g₂(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y),dy = P(x,g₂(x)) - P(x,g₁(x)), $$
e em x:
integralg₁(x)^g₂(x)partial Ppartial y(x,y),dy = P(x,g₂(x)) - P(x,g₁(x)),
Substituindo e aplicando Fubini, obtemos
integrala^bpartial Qpartial x(x,y),dx = Q(b,y) - Q(a,y)

Passo 6

Isso prova o Teorema de Green para regiões tipo 1, como queríamos.

Resposta

ointpartial DP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr)dA

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