Demonstre o Teorema de Green para o caso especial em que a região planar
é de tipo 1, ou seja,
. Dica: Procure nas principais referências da componente curricular.
Passo 1
Neste exercício a gente quer demonstrar o Teorema de Green para uma região tipo 1
D = { (x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b e g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x) }
Mostrando que, para um campo vetorial (P,Q) com derivadas parciais contínuas, vale
D = { (x,y) ∈ ℝ² : a ≤ x ≤ b e g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x) }
Mostrando que, para um campo vetorial (P,Q) com derivadas parciais contínuas, vale
$$ \oint_{\partial D} P,dx + Q,dy
= \iint_D \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) ,dA. $$
Vamos usar parametrização das bordas, o Teorema Fundamental do Cálculo e Fubini.
Vamos usar parametrização das bordas, o Teorema Fundamental do Cálculo e Fubini.
Passo 2
Orientamos ∂D positivamente (anti-horário) e separamos em quatro partes:
Γ₁ (borda inferior): x varia de a a b, y = g₁(x),
Γ₂ (borda direita): x = b, y varia de g₁(b) a g₂(b),
Γ₃ (borda superior): x varia de b a a, y = g₂(x),
Γ₄ (borda esquerda): x = a, y varia de g₂(a) a g₁(a).
Em cada trecho sabemos dx e dy.
Γ₁ (borda inferior): x varia de a a b, y = g₁(x),
Γ₂ (borda direita): x = b, y varia de g₁(b) a g₂(b),
Γ₃ (borda superior): x varia de b a a, y = g₂(x),
Γ₄ (borda esquerda): x = a, y varia de g₂(a) a g₁(a).
Em cada trecho sabemos dx e dy.
Passo 3
Calculamos ∫_{∂D} P,dx. Nos trechos verticais Γ₂ e Γ₄ temos dx = 0, então só Γ₁ e Γ₃ contribuem:
Para Γ₁:
Para Γ₁:
Para Γ₃ (orientação b→a):
Somando:
Passo 4
Agora ∫_{∂D} Q,dy. Nos trechos horizontais Γ₁ e Γ₃ dy = g’(t) dt mas somam zero quando juntamos com P dx; de fato só Γ₂ e Γ₄ importam:
Para Γ₂:
Para Γ₂:
Para Γ₄ (orientação g₂(a)→g₁(a)):
Somando:
Passo 5
Juntando
$$ \oint_{\partial D}P,dx + Q,dy = \int_a^b\bigl[P(x,g₁(x)) - P(x,g₂(x))\bigr]dx
- \Bigl[\int_{g₁(b)}^{g₂(b)}Q(b,y)dy - \int_{g₁(a)}^{g₂(a)}Q(a,y)dy\Bigr].
\int_{g₁(x)}^{g₂(x)}\frac{\partial P}{\partial y}(x,y),dy = P(x,g₂(x)) - P(x,g₁(x)), $$
e em x:
Substituindo e aplicando Fubini, obtemos
Passo 6
Isso prova o Teorema de Green para regiões tipo 1, como queríamos.