Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função definida por partes:
f(x)=rrr x^2, & se & x <= 1 2-x, & se & 1 < x <= 2 3x-1, & se & x > 2
Além disso, precisamos verificar se essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender como traçar gráficos de funções definidas por partes e os conceitos básicos de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente:
Para : A função é .
Essa é uma parábola. Vamos calcular alguns pontos:
Para : A função é .
Essa é uma reta decrescente. Vamos calcular:
(limite à direita)
Para : A função é .
Outra reta crescente. Vamos calcular:
(limite à esquerda)
Agora, vamos esboçar o gráfico juntando essas partes:
De a 1: Uma parábola começando de baixo, passando por (0,0) e chegando em (1,1).
De 1 a 2: Uma reta descendo de (1,1) até (2,0).
Acima de 2: Uma reta subindo a partir de (2,5) em diante.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade da função. Uma função é contínua se não tiver “saltos” ou “brechas” no seu gráfico. Para funções definidas por partes, precisamos checar a continuidade nos pontos onde a definição muda, ou seja, em e .
Em :
Valor pela esquerda:
Valor pela direita:
Valor da função:
Como os limites laterais e o valor da função são iguais, a função é contínua em .
Em :
Valor pela esquerda:
Valor pela direita:
Valor da função:
Aqui, os limites laterais não são iguais (0 ≠ 5) e também não coincidem com o valor da função.
Portanto, há um “salto” no ponto , tornando a função descontínua nesse ponto.
Resposta
A função não é contínua, pois apresenta uma descontinuidade em .