Usando propriedades dos limites, calcule:
lim x 3 raizx+3x^3-9 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular lim x 3 raizx+3x^3-9 x. Aqui, estamos lidando com limites e propriedades das funções radicais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e analisar o comportamento dela quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 - 9x. Podemos fatorar esse polinômio:
x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)
Então, a expressão original fica:
raizx + 3x(x - 3)(x + 3)

Passo 3

Agora, percebemos que o termo (x + 3) aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
raiz1x(x - 3)

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com a expressão 1x(x - 3) quando x se aproxima de 3.
  • Quando x se aproxima de 3 pela direita (valores maiores que 3), x - 3 é um número positivo pequeno, então o denominador x(x - 3) é positivo e pequeno, fazendo com que a fração 1x(x - 3) seja um número muito grande positivo.
  • Quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3), x - 3 é um número negativo pequeno, então o denominador x(x - 3) é negativo e pequeno, fazendo com que a fração 1x(x - 3) seja um número muito grande negativo. Porém, a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Passo 5

Como a expressão dentro da raiz só é válida (ou seja, positiva) quando x se aproxima de 3 pela direita, vamos considerar apenas esse lado. Nesse caso:
raiz1x(x - 3) raiz+infty = +infty

Resposta

O limite é +infty.

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