Demonstre o Teorema:
Seja
um ideal de
. Então
ou existe um inteiro positivo
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um ideal de
.
O que se pede: provar que ou ou existe um inteiro positivo
tal que
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: é um subconjunto de
que satisfaz as propriedades de ideal (fechado para soma, contém inversos aditivos e é fechado para multiplicação por quaisquer inteiros).
O que se pede: provar que ou
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Definição e consequências básicas (aula curta para lembrar): um subconjunto
é ideal se, para quaisquer
e qualquer
, valem
Dessas propriedades segue imediatamente que
(porque
para
). Também segue que, se
então todos os múltiplos
com
estão em
.
Passo 3
Caso trivial: se
já terminamos — essa é uma das possibilidades do teorema. Então a partir de agora assumimos que
e mostramos que existe
com
.
Passo 4
Existência de um menor elemento positivo em
: como
, existe
com
. Então ou
ou
; portanto o conjunto
é não vazio. Pelo princípio do bom ordenamento dos inteiros positivos (todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento),
tem um menor elemento. Denotemos esse menor elemento por
. Assim
e
, e não há elemento positivo de
menor que
.
Passo 5
Mostramos que
: como
e
é ideal, para qualquer
temos
. Logo todos os múltiplos de
estão em
, isto é,
Passo 6
Mostramos que
: tome um elemento arbitrário
. Aplicamos o algoritmo da divisão para inteiros (divisão euclidiana) a
por
: existem inteiros
e
tais que
Agora observe que
(pois
e
é ideal) e
, então
porque
é fechado para subtração. Mas
é um inteiro com
e pertence a
. Pela escolha de
como o menor inteiro positivo em
, a única possibilidade é
(se
seria um elemento positivo de
menor que
, contradição). Logo
e portanto
.
Passo 7
Como
era arbitrário, concluímos
. Juntando com o resultado do Passo 5 obtemos a igualdade
Passo 8
Observações finais (didática e dica de prova): o
é o menor inteiro positivo em
e é o gerador do ideal
. Em provas de prova curta, o argumento padrão é: se
pronto; senão tome
o menor positivo em
, mostre
trivialmente e
usando divisão euclidiana e minimalidade de
. Esse é um esquema que cai sempre para ideais de
.
Resposta
ou
existe