Demonstre o Teorema:
Seja J um ideal de \mathbb{Z}. Então J=\{0\} ou existe um inteiro positivo m tal que J=m \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá que J é um ideal de \mathbb{Z}.
O que se pede: provar que ou J=\{0\} ou existe um inteiro positivo m tal que J=m\mathbb{Z}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: J é um subconjunto de \mathbb{Z} que satisfaz as propriedades de ideal (fechado para soma, contém inversos aditivos e é fechado para multiplicação por quaisquer inteiros).

Passo 2

Definição e consequências básicas (aula curta para lembrar): um subconjunto J\subseteq\mathbb{Z} é ideal se, para quaisquer a,b\in J e qualquer t\in\mathbb{Z}, valem
a+b\in J,\qquad -a\in J,\qquad t\cdot a\in J.
Dessas propriedades segue imediatamente que 0\in J (porque a+(-a)=0 para a\in J). Também segue que, se a\in J então todos os múltiplos ka com k\in\mathbb{Z} estão em J.

Passo 3

Caso trivial: se J=\{0\} já terminamos — essa é uma das possibilidades do teorema. Então a partir de agora assumimos que J\neq\{0\} e mostramos que existe m>0 com J=m\mathbb{Z}.

Passo 4

Existência de um menor elemento positivo em J: como J\neq\{0\}, existe a\in J com a\neq0. Então ou a>0 ou -a>0; portanto o conjunto
S=\{n\in\mathbb{Z} \mid n>0,\\ n\in J\}
é não vazio. Pelo princípio do bom ordenamento dos inteiros positivos (todo subconjunto não vazio de \mathbb{Z}_{>0} tem um menor elemento), S tem um menor elemento. Denotemos esse menor elemento por m. Assim m\in J e m>0, e não há elemento positivo de J menor que m.

Passo 5

Mostramos que m\mathbb{Z}\subseteq J: como m\in J e J é ideal, para qualquer k\in\mathbb{Z} temos km\in J. Logo todos os múltiplos de m estão em J, isto é,
m\mathbb{Z}\subseteq J.

Passo 6

Mostramos que J\subseteq m\mathbb{Z}: tome um elemento arbitrário a\in J. Aplicamos o algoritmo da divisão para inteiros (divisão euclidiana) a a por m: existem inteiros q e r tais que
a = q m + r\qquad\text{com}\qquad 0\le r < m.
Agora observe que q m\in J (pois m\in J e J é ideal) e a\in J, então
r = a - q m \in J
porque J é fechado para subtração. Mas r é um inteiro com 0\le r<m e pertence a J. Pela escolha de m como o menor inteiro positivo em J, a única possibilidade é r=0 (se r>0 seria um elemento positivo de J menor que m, contradição). Logo r=0 e portanto a = q m\in m\mathbb{Z}.

Passo 7

Como a\in J era arbitrário, concluímos J\subseteq m\mathbb{Z}. Juntando com o resultado do Passo 5 obtemos a igualdade
J = m\mathbb{Z}.

Passo 8

Observações finais (didática e dica de prova): o m é o menor inteiro positivo em J e é o gerador do ideal J. Em provas de prova curta, o argumento padrão é: se J=\{0\} pronto; senão tome m o menor positivo em J, mostre m\mathbb{Z}\subseteq J trivialmente e J\subseteq m\mathbb{Z} usando divisão euclidiana e minimalidade de m. Esse é um esquema que cai sempre para ideais de \mathbb{Z}.

Resposta

J=\{0\}
ou
existe m\in\mathbb{Z}_{>0} tal que J=m\mathbb{Z}.

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