Quais dos seguintes conjuntos são ideais de mathbb{Z} ? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo m tal que J=m \mathbb{Z}.
Todos os inteiros n tais que alguma potência de n seja divisível por 64 .

Passo 1

O enunciado define o conjunto J como "todos os inteiros n tais que alguma potência de n seja divisível por 64". As perguntas são: J é um ideal de \mathbb{Z}? Se for, determinar o inteiro positivo m tal que J = m\mathbb{Z}.
Informações dadas:
  • O número 64 aparece no enunciado; note que \,64 = 2^{6}\,.
  • J=\{n\in\mathbb{Z}\mid\exists k\ge 1\text{ com }64\mid n^{k}\}.
  • Queremos decidir se J é ideal em \mathbb{Z} e, no caso afirmativo, encontrar m>0 com J=m\mathbb{Z}.

Passo 2

Vou explicar o que significa estar em J de forma concreta. Pegamos um inteiro n. Podemos escrever n na forma
n = 2^{t}\cdot u,
onde t\ge 0 é o expoente de 2 que divide n (ou seja, 2^{t} é a maior potência de 2 que divide n) e u é um inteiro ímpar. Essa decomposição é apenas fatoração por potências de 2; é fácil e útil para raciocinar sobre divisibilidade por potências de 2.
Agora observe o comportamento de potências de n:
n^{k} = (2^{t}u)^{k} = 2^{t k}\cdot u^{k}.
Para que 64 divida n^{k} precisamos que 2^{6} divida 2^{t k}, isto é, precisamos de t k \ge 6.

Passo 3

Mostro que todo inteiro par pertence a J. Se n é par então t\ge 1, logo podemos escolher k=6. Então
n^{6} = 2^{6t}\cdot u^{6},
e como t\ge 1 temos 6t\ge 6, portanto 2^{6}\mid n^{6}, isto é, 64\mid n^{6}. Assim todo inteiro par n satisfaz a condição de J. Em notação:
2\mathbb{Z}\subseteq J.
(Exemplo concreto: para n=4 temos 4^{3}=64; para n=6 temos 6^{6} é múltiplo de 64.)

Passo 4

Mostro agora que se n\in J então n é par. Suponha n\in J. Então existe k\ge 1 tal que 64\mid n^{k}, ou seja n^{k} é par. Mas se n fosse ímpar, qualquer potência de n seria ímpar (produto de ímpares é ímpar), contradizendo 64\mid n^{k}. Logo n não pode ser ímpar; portanto n é par. Em notação:
J \subseteq 2\mathbb{Z}.

Passo 5

Das inclusões dos Passos 3 e 4 temos igualdade:
J = 2\mathbb{Z}.
Agora, 2\mathbb{Z} é um ideal padrão de \mathbb{Z}: é fechado para subtração (diferença de dois pares é par) e satisfaz a propriedade absorvente (multiplicar um par por qualquer inteiro dá um par). Logo J é um ideal de \mathbb{Z}.

Passo 6

Concluímos qual é o gerador positivo m. Como J=2\mathbb{Z}, o inteiro positivo m pedido é m=2.

Resposta

J é ideal e J = 2\mathbb{Z}, portanto m=2.

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