Quais dos seguintes conjuntos são ideais de
? Em cada resposta afirmativa, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Todos os inteiros
tais que alguma potência de
seja divisível por 64 .
Todos os inteiros
Passo 1
O enunciado define o conjunto
como "todos os inteiros
tais que alguma potência de
seja divisível por
". As perguntas são:
é um ideal de
? Se for, determinar o inteiro positivo
tal que
.
Informações dadas:
- O número
aparece no enunciado; note que . -
. - Queremos decidir se
é ideal em e, no caso afirmativo, encontrar com .
Passo 2
Vou explicar o que significa estar em
de forma concreta. Pegamos um inteiro
. Podemos escrever
na forma
onde
é o expoente de
que divide
(ou seja,
é a maior potência de
que divide
) e
é um inteiro ímpar. Essa decomposição é apenas fatoração por potências de
; é fácil e útil para raciocinar sobre divisibilidade por potências de
.
Agora observe o comportamento de potências de
:
Para que
divida
precisamos que
divida
, isto é, precisamos de
.
Passo 3
Mostro que todo inteiro par pertence a
. Se
é par então
, logo podemos escolher
. Então
e como
temos
, portanto
, isto é,
. Assim todo inteiro par
satisfaz a condição de
. Em notação:
(Exemplo concreto: para
temos
; para
temos
é múltiplo de
.)
Passo 4
Mostro agora que se
então
é par. Suponha
. Então existe
tal que
, ou seja
é par. Mas se
fosse ímpar, qualquer potência de
seria ímpar (produto de ímpares é ímpar), contradizendo
. Logo
não pode ser ímpar; portanto
é par. Em notação:
Passo 5
Das inclusões dos Passos 3 e 4 temos igualdade:
Agora,
é um ideal padrão de
: é fechado para subtração (diferença de dois pares é par) e satisfaz a propriedade absorvente (multiplicar um par por qualquer inteiro dá um par). Logo
é um ideal de
.
Passo 6
Concluímos qual é o gerador positivo
. Como
, o inteiro positivo
pedido é
.