Demonstre que toda matriz antissimétrica de ordem ímpar e elementos reais tem determinante nulo.

Passo 1

O enunciado pede: “Demonstre que toda matriz antissimétrica de ordem ímpar e elementos reais tem determinante nulo.”
Informações que o enunciado dá (isto é, os dados que vamos usar):
  • Seja A uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais.
  • A é antissimétrica (ou seja, skew-symmetric), o que significa que vale
A^{T} = -A.
  • Além disso, vou considerar o caso em que n é ímpar (isto é, n=1,3,5,\dots).
    O objetivo é provar matematicamente que \det(A)=0 sob essas hipóteses.

Passo 2

Lembranças úteis sobre determinante que vou usar (explicadas com calma):
  1. Propriedade da transposta:
\det(A^{T})=\det(A).
Explicação: pela definição do determinante como soma sobre permutações,
\det(A)=\sum_{\sigma\in S_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}.
Para A^{T} os termos ficam \prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i}. fazendo a substituição \tau=\sigma^{-1} nota-se que o conjunto de somas é o mesmo e \operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\tau), portanto o valor total não muda. Em palavras: trocar linhas por colunas não altera o valor do determinante.
  1. Propriedade do fator escalar:
\det(cA)=c^{n}\det(A)\quad\text{para qualquer }c\in\mathbb{R}.
Explicação: multiplicar uma linha de uma matriz por c multiplica o determinante por c. Se multiplicarmos todas as n linhas por c (o que é equivalente a multiplicar a matriz inteira por c), obtemos um fator c por linha, totalizando c^{n}.
Vou usar exatamente essas duas propriedades logo a seguir.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao caso antissimétrico:
  • Como A^{T}=-A, pela propriedade da transposta temos
\det(A)=\det(A^{T})=\det(-A).
  • Usando a propriedade do fator escalar com c=-1 e lembrando que a matriz tem ordem n:
\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).
Juntando as duas igualdades obtemos
\det(A)=(-1)^{n}\det(A).

Passo 4

Condição para n ímpar:
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1. Substituindo na identidade do Passo 3:
\det(A) = -\det(A).
  • Somando \det(A) dos dois lados dá
2\det(A)=0,
logo
\det(A)=0.
Isso conclui a demonstração geral: toda matriz antissimétrica real de ordem ímpar tem determinante nulo.

Passo 5

Exemplo concreto (para fixar a ideia): considere a matriz antissimétrica de ordem 3
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 3\\[4pt] -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}.
Calculemos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 3\\[2pt]-3 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[2pt]-2 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 0\\[2pt]-2 & -3\end{pmatrix}.
Agora as contas:
-1\cdot\big((-1)\cdot 0 - 3\cdot(-2)\big) = -1\cdot(0+6) = -6,
2\cdot\big((-1)\cdot(-3) - 0\cdot(-2)\big) = 2\cdot 3 = 6.
Somando os termos dá -6+6=0. Resultado numérico compatível com a demonstração geral.]

Passo 6

Comentário extra (intuitivo e encorajador): a razão essencial é simples e elegante — a antisimettria dá A^{T}=-A, o determinante não muda ao transpor, e multiplicar uma matriz de ordem ímpar por -1 muda o sinal do determinante. Essas três ideias juntas forçam o determinante a ser zero. Você conseguiu entender a linha lógica? Se quiser, praticamos com outras matrizes antissimétricas para fixar.

Resposta

\det(A)=0

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