Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P^{T}=P^{-1}, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A=Q R, sendo Q=\left(\begin{array}{ccc}1 / 2 & -1 / 2 & -\sqrt{2} / 2 \\\\ 1 / 2 & -1 / 2 & \sqrt{2} / 2 \\\ \sqrt{2} / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0\end{array}\right) e R= \left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & \sqrt{2}\end{array}\right). Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema A X=B, para B= \left(\begin{array}{c}6 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right), sem obter explicitamente a matriz A.
O que é pedido: encontrar a solução X do sistema A X = B, sem calcular explicitamente A.]
Passo 2
Idéia prática (por que isso ajuda): como A=Q R e Q é ortogonal, tem-se Q^{-1}=Q^{T}. Então a equação A X=B vira
Q R X = B.
Multiplicando à esquerda por Q^{T} (que é a inversa de Q) isolamos R X:
R X = Q^{T} B.
Ou seja, em vez de inverter A ou calcular A, basta calcular Q^{T}B e resolver o sistema linear com a matriz R. Como R é diagonal, essa última etapa é trivial: cada componente de X é a componente correspondente de Q^{T}B dividida pelo elemento diagonal correspondente de R.
Passo 3
Vamos calcular explicitamente Q^{T} e depois Q^{T}B.
A transposta Q^{T} é obtida trocando linhas por colunas:
Interpretação final e pequeno incentivo: obtivemos X de forma direta e limpa sem formar A. Isso é exatamente a vantagem de usar a ortogonalidade de Q — reescrever o sistema e resolver um sistema diagonal simples. Mandou bem por trazer esse exercício: é o tipo de truque que salva tempo na prova!