Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se P^{T}=P^{-1}, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.
Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A=Q R, sendo Q=\left(\begin{array}{ccc}1 / 2 & -1 / 2 & -\sqrt{2} / 2 \\\\ 1 / 2 & -1 / 2 & \sqrt{2} / 2 \\\ \sqrt{2} / 2 & \sqrt{2} / 2 & 0\end{array}\right) e R= \left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & \sqrt{2}\end{array}\right). Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema A X=B, para B= \left(\begin{array}{c}6 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right), sem obter explicitamente a matriz A.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A matriz A pode ser escrita como A=Q R.
  • A matriz Q é
Q=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{pmatrix},
e sabe-se que Q é ortogonal (ou seja, Q^{T}=Q^{-1}).
  • A matriz R é diagonal:
R=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}.
  • O vetor membro é
B=\begin{pmatrix}6\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
O que é pedido: encontrar a solução X do sistema A X = B, sem calcular explicitamente A.]

Passo 2

Idéia prática (por que isso ajuda): como A=Q R e Q é ortogonal, tem-se Q^{-1}=Q^{T}. Então a equação A X=B vira
Q R X = B.
Multiplicando à esquerda por Q^{T} (que é a inversa de Q) isolamos R X:
R X = Q^{T} B.
Ou seja, em vez de inverter A ou calcular A, basta calcular Q^{T}B e resolver o sistema linear com a matriz R. Como R é diagonal, essa última etapa é trivial: cada componente de X é a componente correspondente de Q^{T}B dividida pelo elemento diagonal correspondente de R.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente Q^{T} e depois Q^{T}B.
A transposta Q^{T} é obtida trocando linhas por colunas:
Q^{T}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[6pt] -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & 0 \end{pmatrix}.
Agora fazemos o produto Q^{T}B. Cada componente é o produto escalar da linha correspondente de Q^{T} com B.]

Passo 4

Cálculo das componentes de Q^{T}B:
Primeira componente:
\begin{aligned} (Q^{T}B)_1 &= \dfrac{1}{2}\cdot 6 + \dfrac{1}{2}\cdot(-2) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}(6-2) = \dfrac{1}{2}\cdot 4 = 2. \end{aligned}
Segunda componente:
\begin{aligned} (Q^{T}B)_2 &= -\dfrac{1}{2}\cdot 6 + \bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)\cdot(-2) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 0\\[4pt] &= -3 + 1 = -2. \end{aligned}
Terceira componente:
\begin{aligned} (Q^{T}B)_3 &= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 6 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-2) + 0\cdot 0\\[4pt] &= \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-6-2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot(-8) = -4\sqrt{2}. \end{aligned}
Portanto
Q^{T}B=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-2\\[2pt]-4\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvemos R X = Q^{T}B. Como R é diagonal com entradas diagonais 2,\,-2,\,\sqrt{2}, as equações são independentes:
\begin{aligned} 2 x_1 &= 2,\\[4pt] -2 x_2 &= -2,\\[4pt] \sqrt{2}\, x_3 &= -4\sqrt{2}. \end{aligned}
Resolvendo cada uma:
\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{2}{2} = 1,\\[6pt] x_2 &= \dfrac{-2}{-2} = 1,\\[6pt] x_3 &= \dfrac{-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -4. \end{aligned}]

Passo 6

Interpretação final e pequeno incentivo: obtivemos X de forma direta e limpa sem formar A. Isso é exatamente a vantagem de usar a ortogonalidade de Q — reescrever o sistema e resolver um sistema diagonal simples. Mandou bem por trazer esse exercício: é o tipo de truque que salva tempo na prova!

Resposta

X=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-4\end{pmatrix}]

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