Se uma matriz A não possui inversa, então (A+B) e A B não admitem inversa, qualquer que seja a matriz B não-nula?

Passo 1

O enunciado dá que A é uma matriz que não possui inversa (ou seja, A é singular). Pergunta-se se, para qualquer matriz B não-nula, as matrizes A+B e AB também não admitem inversa.
Informações / hipóteses que vamos usar (assumindo o caso usual): as matrizes são quadradas n\times n sobre um corpo (por exemplo, \mathbb{R} ou \mathbb{C}). A questão quer saber se as afirmações valem para todo B\neq 0.

Passo 2

O que significa “matriz não possui inversa” e ferramentas úteis (explicação didática e simples).
  • Uma matriz quadrada M é invertível se existe outra matriz M^{-1} tal que \,M M^{-1}=M^{-1}M=I\,, onde I é a matriz identidade.
  • Propriedades equivalentes (úteis):
    1. M é invertível se, e somente se, \det(M)\neq 0. Aqui \det(M) é o determinante de M.
    2. M é invertível se, e somente se, o núcleo (kernel) da transformação linear associada a M é \{0\} (isto é, M x=0 só tem solução x=0).
      Essas equivalências são padrão em álgebra linear; a que escolheremos dependere do que for mais direto para cada parte da pergunta.

Passo 3

Análise de AB. Vou mostrar que, se A é singular (não invertível), então para qualquer matriz quadrada B (mesma ordem) a matriz AB também é singular. Dois argumentos simples e equivalentes:
Argumento pelo determinante (curto e direto):
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Como A é singular, \det(A)=0. Assim \det(AB)=0\cdot\det(B)=0. Logo \det(AB)=0, o que significa que AB não é invertível.
Argumento por inverso (intuitivo, sem cálculo de determinantes):
Suponha, por contradição, que AB seja invertível. Então existe (AB)^{-1} tal que (AB)(AB)^{-1}=I. Multiplicando à esquerda por A aparece uma relação que mostra que A teria um inverso à direita (ou à esquerda, dependendo da ordem), e para matrizes quadradas a existência de inverso à direita (ou à esquerda) já implica que A é invertível. Isso contraria a hipótese de A singular. Portanto AB não pode ser invertível. (Versão enxuta: se AB invertível então \det(AB)\neq0\Rightarrow\det A\neq0, absurdo.)
Conclusão desta parte: para matrizes quadradas, se A não é inversível então AB também não é inversível, para qualquer B.

Passo 4

Análise de A+B. Aqui a situação é diferente: não há uma identidade geral que force A+B a ser singular para todo B\neq0. Ou seja, A+B pode ser invertível ou singular dependendo de B. Vou mostrar contraexemplos concretos (passo-a-passo) para ver os dois casos.
Exemplo que mostra que A+B pode ser invertível mesmo com A singular:
Escolha a matriz singular
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
ou, mais simples ainda, escolha A como a matriz nula (que é singular): A=0. Tome B=I (a identidade), que é não-nula e invertível. Então
A+B=0+I=I,
e I é invertível. Assim existe B\neq0 tal que A+B é invertível. Portanto não é verdade que A+B seja necessariamente não-inversível para todo B\neq0.
Exemplo que mostra que A+B também pode ser singular:
Com a mesma A do primeiro exemplo, escolha
B=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é não-nula. Então
A+B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que é singular. Isso mostra que, conforme a escolha de B, A+B pode ser singular ou invertível.
Resumo intuitivo: a soma não tem uma regra multiplicativa como a do determinante para produtos; somando uma matriz singular com outra pode “corrigir” a singularidade (como quando A= -B + algo), ou pode mantê‑la.]

Passo 5

Recapitulando e tirando a conclusão clara e prática (para usar na prova):
  • Produto: se A é singular e as matrizes são quadradas da mesma ordem, então para qualquer B (mesma ordem) a matriz AB é sempre singular; portanto AB não admite inversa. A razão mais simples é \det(AB)=\det(A)\det(B)=0.
  • Soma: não existe uma afirmação universal. Pode acontecer de A+B ser invertível para alguns B\neq0 (ex.: A=0, B=I), e pode acontecer de A+B ser singular para outros B\neq0. Logo a afirmação sobre A+B é falsa em geral.

Resposta

A+B: Não — não necessariamente; existem B\neq0 tais que A+B é invertível.
AB: Sim — se A é singular então AB é sempre singular (não admite inversa) para qualquer B da mesma ordem.

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