Se uma matriz
não possui inversa, então
e
não admitem inversa, qualquer que seja a matriz
não-nula?
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz que não possui inversa (ou seja,
é singular). Pergunta-se se, para qualquer matriz
não-nula, as matrizes
e
também não admitem inversa.
Informações / hipóteses que vamos usar (assumindo o caso usual): as matrizes são quadradas sobre um corpo (por exemplo,
ou
). A questão quer saber se as afirmações valem para todo
.
Informações / hipóteses que vamos usar (assumindo o caso usual): as matrizes são quadradas
Passo 2
O que significa “matriz não possui inversa” e ferramentas úteis (explicação didática e simples).
- Uma matriz quadrada
é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. - Propriedades equivalentes (úteis):
-
é invertível se, e somente se, . Aqui é o determinante de . -
é invertível se, e somente se, o núcleo (kernel) da transformação linear associada a é (isto é, só tem solução ).
Essas equivalências são padrão em álgebra linear; a que escolheremos dependere do que for mais direto para cada parte da pergunta.
-
Passo 3
Análise de
. Vou mostrar que, se
é singular (não invertível), então para qualquer matriz quadrada
(mesma ordem) a matriz
também é singular. Dois argumentos simples e equivalentes:
Argumento pelo determinante (curto e direto):
Como
é singular,
. Assim
. Logo
, o que significa que
não é invertível.
Argumento por inverso (intuitivo, sem cálculo de determinantes):
Suponha, por contradição, que seja invertível. Então existe
tal que
. Multiplicando à esquerda por
aparece uma relação que mostra que
teria um inverso à direita (ou à esquerda, dependendo da ordem), e para matrizes quadradas a existência de inverso à direita (ou à esquerda) já implica que
é invertível. Isso contraria a hipótese de
singular. Portanto
não pode ser invertível. (Versão enxuta: se
invertível então
, absurdo.)
Suponha, por contradição, que
Conclusão desta parte: para matrizes quadradas, se
não é inversível então
também não é inversível, para qualquer
.
Passo 4
Análise de
. Aqui a situação é diferente: não há uma identidade geral que force
a ser singular para todo
. Ou seja,
pode ser invertível ou singular dependendo de
. Vou mostrar contraexemplos concretos (passo-a-passo) para ver os dois casos.
Exemplo que mostra que
pode ser invertível mesmo com
singular:
Escolha a matriz singular
Escolha a matriz singular
ou, mais simples ainda, escolha
como a matriz nula (que é singular):
. Tome
(a identidade), que é não-nula e invertível. Então
e
é invertível. Assim existe
tal que
é invertível. Portanto não é verdade que
seja necessariamente não-inversível para todo
.
Exemplo que mostra que
também pode ser singular:
Com a mesma do primeiro exemplo, escolha
Com a mesma
que é não-nula. Então
que é singular. Isso mostra que, conforme a escolha de
,
pode ser singular ou invertível.
Resumo intuitivo: a soma não tem uma regra multiplicativa como a do determinante para produtos; somando uma matriz singular com outra pode “corrigir” a singularidade (como quando
algo), ou pode mantê‑la.]
Passo 5
Recapitulando e tirando a conclusão clara e prática (para usar na prova):
- Produto: se
é singular e as matrizes são quadradas da mesma ordem, então para qualquer (mesma ordem) a matriz é sempre singular; portanto não admite inversa. A razão mais simples é . - Soma: não existe uma afirmação universal. Pode acontecer de
ser invertível para alguns (ex.: , ), e pode acontecer de ser singular para outros . Logo a afirmação sobre é falsa em geral.