Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (não vou resolver ainda, só organizar os dados). São duas matrizes desconhecidas X\) e \(Y\) que satisfazem o sistema
\[\begin{cases} X+Y=\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\[4pt] -1 & 4\end{array}\right],\\[6pt] X-Y=\left[\begin{array}{cc}8 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right]. \end{cases}
As perguntas implícitas são: encontrar a matriz X\] e encontrar a matriz \(Y. As duas matrizes dadas no enunciado têm dimensão 2\times2, logo X e Y também são 2\times2.]
Passo 2
Ideia do método (passo teórico curto e didático). Se somarmos membro a membro as duas equações obtemos uma expressão que elimina Y; se subtrairmos uma equação da outra obtemos uma que elimina X. Em símbolos:
(X+Y)+(X-Y)=2X,
(X+Y)-(X-Y)=2Y.
Essas identidades vêm da propriedades básicas de matrizes que são análogas às dos números: adição e subtração de matrizes são feitas elemento a elemento, e multiplicação por escalar (como \tfrac12) também é feita elemento a elemento. Essas operações são válidas porque todas as matrizes envolvidas têm a mesma dimensão 2\times2.
Passo 3
Agora aplico a primeira identidade para achar as entradas de X. Primeiro escrevo a soma dos dois lados conhecidos:
Breve verificação (rápida e útil na prova): conferir que X+Y e X-Y retornam as matrizes iniciais. Somando as entradas obtidas para X e Y elemento a elemento: