Obtenha as matrizes X e Y tais que
\left\{\begin{array}{l} X+Y=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right] \\\ X-Y=\left[\begin{array}{ll} 8 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right] \end{array}\right.
Obtenha as matrizes X e Y tais que
\left\{\begin{array}{l} X+Y=\left[\begin{array}{cc} 2 & 5 \\\\ -1 & 4 \end{array}\right] \\\ X-Y=\left[\begin{array}{ll} 8 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right] \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu (não vou resolver ainda, só organizar os dados). São duas matrizes desconhecidas X\) e \(Y\) que satisfazem o sistema \[\begin{cases} X+Y=\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\[4pt] -1 & 4\end{array}\right],\\[6pt] X-Y=\left[\begin{array}{cc}8 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right]. \end{cases}
As perguntas implícitas são: encontrar a matriz X\] e encontrar a matriz \(Y. As duas matrizes dadas no enunciado têm dimensão 2\times2, logo X e Y também são 2\times2.]

Passo 2

Ideia do método (passo teórico curto e didático). Se somarmos membro a membro as duas equações obtemos uma expressão que elimina Y; se subtrairmos uma equação da outra obtemos uma que elimina X. Em símbolos:
(X+Y)+(X-Y)=2X,
(X+Y)-(X-Y)=2Y.
Essas identidades vêm da propriedades básicas de matrizes que são análogas às dos números: adição e subtração de matrizes são feitas elemento a elemento, e multiplicação por escalar (como \tfrac12) também é feita elemento a elemento. Essas operações são válidas porque todas as matrizes envolvidas têm a mesma dimensão 2\times2.

Passo 3

Agora aplico a primeira identidade para achar as entradas de X. Primeiro escrevo a soma dos dois lados conhecidos:
(X+Y)+(X-Y)=\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\[4pt] -1 & 4\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}8 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right].
Soma elemento a elemento:
\left[\begin{array}{cc} 2+8 & 5+1 \\[4pt] -1+1 & 4+2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 10 & 6 \\[4pt] 0 & 6 \end{array}\right].
Pelo que vimos antes, essa soma é 2X. Logo as entradas de 2X são
2X_{11}=10,\quad 2X_{12}=6,\quad 2X_{21}=0,\quad 2X_{22}=6.
Dividindo cada entrada por 2 (multiplicando por \tfrac12) obtemos as entradas de X:
X_{11}=\tfrac{10}{2}=5,\quad X_{12}=\tfrac{6}{2}=3,\quad X_{21}=\tfrac{0}{2}=0,\quad X_{22}=\tfrac{6}{2}=3.]

Passo 4

Agora aplico a segunda identidade para achar as entradas de Y. Primeiro a diferença dos dois lados conhecidos:
(X+Y)-(X-Y)=\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\[4pt] -1 & 4\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}8 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right].
Subtração elemento a elemento:
\left[\begin{array}{cc} 2-8 & 5-1 \\[4pt] -1-1 & 4-2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -6 & 4 \\[4pt] -2 & 2 \end{array}\right].
Essa matriz é 2Y. Portanto as entradas de 2Y são
2Y_{11}=-6,\quad 2Y_{12}=4,\quad 2Y_{21}=-2,\quad 2Y_{22}=2.
Dividindo cada entrada por 2 obtemos as entradas de Y:
Y_{11}=\tfrac{-6}{2}=-3,\quad Y_{12}=\tfrac{4}{2}=2,\quad Y_{21}=\tfrac{-2}{2}=-1,\quad Y_{22}=\tfrac{2}{2}=1.]

Passo 5

Breve verificação (rápida e útil na prova): conferir que X+Y e X-Y retornam as matrizes iniciais. Somando as entradas obtidas para X e Y elemento a elemento:
X+Y=\left[\begin{array}{cc}5+(-3) & 3+2 \\[4pt] 0+(-1) & 3+1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}2 & 5 \\[4pt] -1 & 4\end{array}\right],
X-Y=\left[\begin{array}{cc}5-(-3) & 3-2 \\[4pt] 0-(-1) & 3-1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}8 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{array}\right].
As duas igualdades coincidem com os dados do enunciado, então os resultados estão corretos.]

Resposta

X=\left[\begin{array}{cc}5 & 3 \\[4pt] 0 & 3\end{array}\right]
Y=\left[\begin{array}{cc}-3 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{array}\right]

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