Demonstre que todo domínio principal é fatorial.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que todo domínio principal (PID) é um domínio de fatoração única (UFD).
Um domínio principal é um domínio integral A em que todo ideal I\subseteq A é gerado por um único elemento, ou seja, I=(a) para algum a\in A.
Um domínio fatorial (UFD) é um domínio integral onde todo elemento não–nulo e não–unitário se escreve como produto de irreduzíveis, e essa fatoração é única a menos de permutação e unidades.
Vamos então provar dois pontos fundamentais:
  1. Em A todo a\not=0 nem unidade admite fatoração em irreduzíveis.
  2. Em A todo irreduzível é primo, o que garante unicidade da fatoração.

Passo 2

(Prova da existência de fatoração)
Seja a\in A com a\neq0 e a não unidade.
  • Se a já for irreduzível, não há nada a fazer.
  • Caso contrário, existe uma decomposição
a = b\,c
com b e c não unidades. Então b\mid a mas b não é invertível, de modo que
(a)\subsetneq(b).
Repetindo o mesmo raciocínio em b, obtemos uma cadeia estritamente ascendente de ideais principais
(a)\subsetneq(b)\subsetneq(d)\subsetneq\cdots.
Como em todo PID não há cadeias próprias infinitas de ideais (o anel é noetheriano), esse processo termina em número finito de passos numa expressão
a = p_{1}\,p_{2}\cdots p_{n}
onde cada p_{i} é irreduzível.

Passo 3

(Prova de que irreduzível \implies primo)
Seja p\in A irreduzível e suponha que p\mid ab. Queremos mostrar que p\mid a ou p\mid b.
  • Se p\mid a estamos feitos.
  • Caso contrário, \gcd(p,a)=1. Como A é PID, existem x,y\in A tais que
x\,p + y\,a = 1.
Multiplicando por b vem
x\,p\,b + y\,a\,b = b.
Como p\mid x\,p\,b e p\mid y\,a\,b, segue p\mid b.
Logo p é primo.

Passo 4

(Unicidade da fatoração)
Num domínio onde todo elemento não–nulo não–unitário fatora em irreduzíveis e onde irreduzíveis são primos, a unicidade da fatoração segue do argumento padrão:
se
p_{1}\cdots p_{n} = q_{1}\cdots q_{m}
são duas fatorações em irreduzíveis, então p_{1} sendo primo divide algum q_{j}, forçando p_{1} associado a q_{j}. Corta-se esse par e itera-se o argumento nos fatores restantes, obtendo-se que n=m e cada p_{i} é associado a um q_{i} após permutação.

Resposta

Todo domínio principal é fatorial.

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