Mostre que o anel das funções contínuas
não é um domínio principal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o anel
das funções contínuas de
em
, com soma e produto ponto a ponto, não é um domínio principal (isto é, não é um PID). Para isso, vamos mostrar que existe um ideal em
que não pode ser gerado por um único elemento.
Passo 2
Lembrando que, em um anel
, um ideal
é principal se existe
tal que
Em particular, se
, então todo
satisfaz
para algum
, e disso segue que o conjunto de zeros de
é contido no conjunto de zeros de
:
Passo 3
Para construir um ideal que não seja principal, considere para cada
o ideal maximal
Defina então
É claro que
é um ideal, pois é interseção de ideais.
Passo 4
Suponha, por contradição, que
seja principal, digamos
para algum
. Então, para todo
,
implica
. Como
é contínua,
Logo
pertence ao conjunto de zeros de
.
Por outro lado, escolha uma função
por exemplo uma função que em
seja 0 nos pontos
e tenha valor 1 em
. Essa
existe porque podemos estender por continuidade um polinômio que zere em cada
e valha 1 em 0.
Como
, existe
tal que
. Mas então, de
segue
, contradizendo
.
Passo 5
Chegamos a uma contradição. Logo
não pode ser gerado por nenhum único
, isto é,
não é principal. Portanto
não é um domínio principal.
Resposta
O anel
não é um domínio principal porque o ideal
não é gerado por nenhum elemento único.