Mostre que o anel das funções contínuas \mathcal{C}[0,1] não é um domínio principal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o anel \mathcal C[0,1] das funções contínuas de [0,1] em \mathbb R, com soma e produto ponto a ponto, não é um domínio principal (isto é, não é um PID). Para isso, vamos mostrar que existe um ideal em \mathcal C[0,1] que não pode ser gerado por um único elemento.

Passo 2

Lembrando que, em um anel R, um ideal I\subseteq R é principal se existe g\in R tal que
I = (g) = \{\,g\cdot h : h\in R\}.
Em particular, se I=(g), então todo f\in I satisfaz f=g\cdot h para algum h, e disso segue que o conjunto de zeros de g é contido no conjunto de zeros de f:
g(x)=0 \;\Longrightarrow\; f(x)=g(x)h(x)=0.

Passo 3

Para construir um ideal que não seja principal, considere para cada n\in\mathbb N o ideal maximal
\mathfrak m_{1/n} = \{\,f\in \mathcal C[0,1]\mid f(1/n)=0\}.
Defina então
I = \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathfrak m_{1/n} = \{\,f\in \mathcal C[0,1]\mid f(1/n)=0\\ \forall n\in\mathbb N\}.
É claro que I é um ideal, pois é interseção de ideais.

Passo 4

Suponha, por contradição, que I seja principal, digamos I=(g) para algum g\in \mathcal C[0,1]. Então, para todo n, g\in I implica g(1/n)=0. Como g é contínua,
g(0)=\lim_{n\to\infty}g(1/n)=0.
Logo 0 pertence ao conjunto de zeros de g.
Por outro lado, escolha uma função
f\in I \quad\text{tal que}\quad f(1/n)=0\\ \forall n,\quad\text{mas}\quad f(0)\neq0,
por exemplo uma função que em [0,1] seja 0 nos pontos 1/n e tenha valor 1 em x=0. Essa f existe porque podemos estender por continuidade um polinômio que zere em cada 1/n e valha 1 em 0.
Como f\in I=(g), existe h\in\mathcal C[0,1] tal que f=g\cdot h. Mas então, de g(0)=0 segue f(0)=g(0)h(0)=0, contradizendo f(0)\neq0.

Passo 5

Chegamos a uma contradição. Logo I não pode ser gerado por nenhum único g, isto é, I não é principal. Portanto \mathcal C[0,1] não é um domínio principal.

Resposta

O anel \mathcal C[0,1] não é um domínio principal porque o ideal
I = \{\,f\in \mathcal C[0,1]\mid f(1/n)=0\\ \forall n\in\mathbb N\}
não é gerado por nenhum elemento único.

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