Demonstre que o torque atuante num dipolo neste campo é
,
onde
é a distância vetorial desde o ponto em relação ao qual o torque será medido até o dipolo. A quantidade
, que é independente do ponto em relação ao qual o torque será calculado, é denominada par de giro que atua no dipolo.
onde
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar a expressão para o torque que atua em um dipolo elétrico em um campo específico. Isso envolve conceitos de eletrostática, como dipolos elétricos, campos elétricos e cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar usar definições de torque, produto vetorial e gradiente de campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um dipolo elétrico. Um dipolo é formado por duas cargas de sinais opostos, separadas por uma distância $ \mathbf{d} $. A moment dipolar elétrico $ \mathbf{p} $ é dado por $ \mathbf{p} = q \mathbf{d} $, onde $ q $ é a magnitude da carga.
Passo 3
O torque $ \boldsymbol{\tau} $ que atua sobre um dipolo em um campo elétrico $ \mathbf{E} $ é dado por:
Isso significa que o torque é o produto vetorial entre o momento dipolar e o campo elétrico.
Passo 4
No entanto, a questão apresenta um campo mais complexo, que varia no espaço. Temos um campo interno $ \mathbf{E}{\mathrm{cx}} $ e um campo externo $ \mathbf{E}{\mathrm{ex1}} $. Para campos que variam com a posição, o torque também depende da posição vetorial $ \mathbf{r} $, que é a distância do ponto de referência até o dipolo.
Passo 5
O torque total $ \boldsymbol{\tau} $ pode ser decomposto em duas partes:
- Uma parte que depende da posição $ \mathbf{r} $, dada por $ \mathbf{r} \times (\mathbf{p} \cdot \nabla \mathbf{E}_{\mathrm{cx}}) $.
- Uma parte independente da posição, dada por $ \mathbf{p} \times \mathbf{E}_{\mathrm{ex1}} $.
Passo 6
Vamos detalhar cada parte. A expressão $ \mathbf{p} \cdot \nabla \mathbf{E}_{\mathrm{cx}} $ representa como o campo interno varia no espaço, ou seja, o gradiente do campo elétrico interno. Multiplicando isso pelo vetor posição $ \mathbf{r} $ e tirando o produto vetorial com $ \mathbf{r} $, obtemos a contribuição do campo interno ao torque.
Passo 7
A segunda parte, $ \mathbf{p} \times \mathbf{E}_{\mathrm{ex1}} $, é o torque devido ao campo externo que é constante em relação ao ponto de referência. Esse termo é conhecido como o “par de giro” que atua no dipolo e não depende da posição $ \mathbf{r} $.
Passo 8
Somando as duas contribuições, obtemos a expressão completa para o torque atuante no dipolo:
Resposta
Portanto, demonstramos que o torque atuante num dipolo neste campo é dado por