Determine a posição e a interseção entre os planos abaixo:
(a) 3 x+y+1=0, x-y+z+2=0 e x-2 y-z+2=0;
(b) x-2 y+3 z=2,3 x+y-2 z=1 e 5 x-3 y+4 z=4.

Passo 1

O objetivo é estudar a posição relativa e a interseção de três planos em cada caso. O conteúdo envolve sistemas lineares, posto de matrizes e determinantes, e a geometria da interseção de planos em R^3.

Passo 2

Para o caso (a), escrevemos o sistema na forma matricial A x= b, onde
[
A = 3 & 1 & 0 1 & -1 & 1 1 & -2 & -1,
\quad
\mathbf b = -1 -2 -2.
]
Calculamos o determinante de A:
[
\det(A)=
3 -1 & 1 -2 & -1
-1 1 & 1 1 & -1
=3\bigl((-1)(-1)-1(-2)\bigr)-1\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot1\bigr)
=3(1+2)-(-2)=9+2=11\neq0.
]

Passo 3

Como det(A)neq0, o posto de A é 3 e igual ao posto da matriz aumentada, logo as três retas-planos se cortam em um único ponto. Para achar esse ponto, resolvemos o sistema:
[
3x + y = -1, x - y + z = -2, x - 2y - z = -2
]
Da primeira equação vem y=-1-3x. Substituindo nas duas outras e eliminando z, obtemos 11x=-7, ou seja x=-7/11. Daí y=10/11 e, por exemplo da segunda equação, z=-5/11.

Passo 4

Para o caso (b), a matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes são
[
A = 1 & -2 & 3 3 & 1 & -2 5 & -3 & 4,
\quad
\mathbf b = 214.
]
Calculamos det(A):
[
\det(A)=1 1 & -2 -3 & 4-(-2) 3 & -2 5 & 4+3 3 & 1 5 & -3= -2+44-42=0.
]

Passo 5

Como det(A)=0 mas há um menor 2×2 não nulo (por exemplo 1 & -23 & 1=7), temos posto de A=2. Agora verificamos o posto da matriz aumentada substituindo, por exemplo, a primeira coluna por b. Esse determinante 3×3 dá -1neq0, logo o posto da matriz aumentada é 3.

Passo 6

Como o posto da matriz de coeficientes (2) é menor que o posto da matriz aumentada (3), o sistema é incompatível, não há ponto comum de interseção.

Resposta

(a) Os três planos se cortam em um único ponto: (-7/11,,10/11,,-5/11).
(b) Não há interseção comum (sistema incompatível).

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