Determine a posição e a interseção entre os planos abaixo:
(a) e ;
(b) .
Passo 1
O objetivo é estudar a posição relativa e a interseção de três planos em cada caso. O conteúdo envolve sistemas lineares, posto de matrizes e determinantes, e a geometria da interseção de planos em .
Passo 2
Para o caso (a), escrevemos o sistema na forma matricial , onde
[
A = ,
\quad
\mathbf b = -1 -2 -2.
]
Calculamos o determinante de A:
[
\det(A)=
3-1 & 1 -2 & -1
-11 & 1 1 & -1
=3\bigl((-1)(-1)-1(-2)\bigr)-1\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot1\bigr)
=3(1+2)-(-2)=9+2=11\neq0.
]
Passo 3
Como det(A)neq0, o posto de A é 3 e igual ao posto da matriz aumentada, logo as três retas-planos se cortam em um único ponto. Para achar esse ponto, resolvemos o sistema:
[ 3x + y = -1, x - y + z = -2, x - 2y - z = -2
]
Da primeira equação vem y=-1-3x. Substituindo nas duas outras e eliminando z, obtemos 11x=-7, ou seja x=-7/11. Daí y=10/11 e, por exemplo da segunda equação, z=-5/11.
Passo 4
Para o caso (b), a matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes são
[
A = 1 & -2 & 3 3 & 1 & -2 5 & -3 & 4,
\quad
\mathbf b = 214.
]
Calculamos det(A):
[
\det(A)=11 & -2 -3 & 4-(-2)3 & -2 5 & 4+33 & 1 5 & -3= -2+44-42=0.
]
Passo 5
Como det(A)=0 mas há um menor 2×2 não nulo (por exemplo 1 & -23 & 1=7), temos posto de A=2. Agora verificamos o posto da matriz aumentada substituindo, por exemplo, a primeira coluna por b. Esse determinante 3×3 dá -1neq0, logo o posto da matriz aumentada é 3.
Passo 6
Como o posto da matriz de coeficientes (2) é menor que o posto da matriz aumentada (3), o sistema é incompatível, não há ponto comum de interseção.
Resposta
(a) Os três planos se cortam em um único ponto: (-7/11,,10/11,,-5/11).
(b) Não há interseção comum (sistema incompatível).