Demonstre as transformadas de Laplace par funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
(assumir
). Informações fornecidas:
- A função é
. - O objetivo é encontrar
, isto é, a transformada de Laplace de como função de . - Não há outras restrições explícitas; na prática vamos trabalhar para valores de
que garantam convergência das integrais (veremos qual é essa condição).
Passo 2
Definição e propriedade linear (a ferramenta que vamos usar).
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
definida em ,
onde
é a variável complexa (na prática aqui consideramos
real e
para garantir convergência).
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Aplicando isso a
, basta calcular
e
(multiplicadas pelos coeficientes adequados).
Passo 3
Cálculo de
por integração por partes.
- Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e ,
- Tomamos
Fazer integração por partes escolhendo
e
. Então
e
. Aplicando:
- Verificação do termo de fronteira:
para (a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio), e no o termo vale . Portanto o colchete é . Assim
Passo 4
Cálculo de
(segunda integração por partes).
- Para a integral
escolhemos , . Então e . - Aplicando integração por partes:
- O termo de fronteira novamente é zero para
. A integral final é a integral geométrica básica:
- Assim
- Voltando ao passo anterior,
Portanto
(Observe que este resultado coincide com a fórmula geral
para
, pois
.)
Passo 5
Cálculo de
e combinação final.
- Primeiro
para . - Pela linearidade,
- Somando os dois resultados (linearidade aplicada a
):
válido para
.