Demonstre as transformadas de Laplace par funções:
f(t)=t^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t^{2}-2 (assumir t\ge0). Informações fornecidas:
  • A função é f(t)=t^{2}-2.
  • O objetivo é encontrar \mathcal{L}\{f(t)\}(s), isto é, a transformada de Laplace de f como função de s.
  • Não há outras restrições explícitas; na prática vamos trabalhar para valores de s que garantam convergência das integrais (veremos qual é essa condição).

Passo 2

Definição e propriedade linear (a ferramenta que vamos usar).
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,g(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (na prática aqui consideramos s real e s>0 para garantir convergência).
  • Linearidade: para constantes a,b e funções g,h,
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).
Aplicando isso a f(t)=t^{2}-2, basta calcular \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) e \mathcal{L}\{1\}(s) (multiplicadas pelos coeficientes adequados).

Passo 3

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) por integração por partes.
  • Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(t) e v(t),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • Tomamos
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt.
Fazer integração por partes escolhendo u=t^{2} e dv=e^{-st}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando:
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt=\left[-\dfrac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\dfrac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt.
  • Verificação do termo de fronteira: \displaystyle\lim_{t\to\infty}t^{2}e^{-st}=0 para \,s>0 (a exponencial decai mais rápido que qualquer polinômio), e no t=0 o termo vale 0. Portanto o colchete é 0-0=0. Assim
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt=\dfrac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt.

Passo 4

Cálculo de \int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt (segunda integração por partes).
  • Para a integral \int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt escolhemos u=t, dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}.
  • Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt=\left[-\dfrac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\dfrac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt.
  • O termo de fronteira novamente é zero para \,s>0. A integral final é a integral geométrica básica:
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\dfrac{1}{s}\qquad(\text{para }s>0).
  • Assim
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Voltando ao passo anterior,
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-st}\,dt=\dfrac{2}{s}\cdot\dfrac{1}{s^{2}}=\dfrac{2}{s^{3}}.
Portanto
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}\quad(\text{para }s>0).
(Observe que este resultado coincide com a fórmula geral \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para n=2, pois 2!=2.)

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{ -2\}(s) e combinação final.
  • Primeiro \mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s} para \,s>0.
  • Pela linearidade,
\mathcal{L}\{-2\}(s)=-2\cdot\mathcal{L}\{1\}(s)=-\dfrac{2}{s}.
  • Somando os dois resultados (linearidade aplicada a t^{2}-2):
\mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)+\mathcal{L}\{-2\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}-\dfrac{2}{s},
válido para \,s>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}-2\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}-\dfrac{2}{s},\quad s>0

Exercícios relacionados