• Questão 3 (2.5 pontos) Considere a função
F(w)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & -1100 \pi \leq w \leq 1100 \pi \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
e a função
g(t)=4 \cos (1568 \pi t)+2 \cos (2352 \pi t)+3 \cos (3136 \pi t)
Neste exercício, as frequência estão dadas em radianos por segundo. Responda os itens.
a) ( 0.5 ponto) Calcule f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{F(w)\}.
b) ( 0.25 ponto) Mostre que \mathcal{F}^{-1}\left\{\pi \delta\left(w-w_{0}\right)+\pi \delta\left(w+w_{0}\right)\right\}=\cos \left(w_{0} t\right)
c) ( 0.75 ponto) Calcule G(w)=\mathcal{F}\{g(t)\}.
d) (1.0 ponto) Marque em cada coluna quais são as notas g(t), f(t) * g(t) e f(t) * g(t / 3).
(0.3 ponto) (f(t) * g(t)
(0.3 ponto) g(t)
(0.4 ponto) (f(t) * g(t / 3)
( ) Dó na escala 2
( ) Dó na escala 3
( ) Dó na escala 4
( ) Dó na escala 5
( ) Lá na escala 5
( ) Lá na escala 6
( ) Sem som ((f * g)(t)=0)
( ) Sem som (f(t) * g(t / 3)=0
( ) Sol na escala 3
( ) Sol na escala 4
( ) Sol na escala 5
( ) Sol na escala 6
( ) Sol na escala 7

Passo 1

O enunciado dá duas funções (todas as frequências em rad/s):
  • A função em frequência
F(w)=\begin{cases} 1, & -1100\pi \le w \le 1100\pi,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • A função no tempo
g(t)=4\cos(1568\pi t)+2\cos(2352\pi t)+3\cos(3136\pi t).
O que é pedido:
a) Calcular f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{F(w)\}.
b) Mostrar que \mathcal{F}^{-1}\{\pi\delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)\}=\cos(w_0 t).
c) Calcular G(w)=\mathcal{F}\{g(t)\}.
d) Identificar (marcar) quais notas correspondem a g(t), (f*g)(t) e \big(f*(g(\tfrac{\,\cdot\,}{3}))\big)(t) usando as opções fornecidas.
Dados úteis que usarei (convenção de Fourier):
  • \mathcal{F}\{x(t)\}=X(w)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j w t}\,dt.
  • \mathcal{F}^{-1}\{X(w)\}=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} X(w)e^{j w t}\,dw.
  • Par importante: \mathcal{F}\{\cos(w_0 t)\}=\pi\big[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)\big].
  • Teorema da convolução (nessa convenção): \mathcal{F}\{x*y\}=X(w)\,Y(w).
  • Propriedade de escala no tempo: se h(t)=x(a t) então H(w)=\dfrac{1}{|a|}X\!\big(\dfrac{w}{a}\big). Equivalentemente, para x(t/3) (aqui a=\tfrac{1}{3}) vale \mathcal{F}\{x(t/3)\}=3\,X(3w).]

Passo 2

Calcular f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{F(w)\}.
Usando a fórmula da transformada inversa:
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{j w t}\,dw =\frac{1}{2\pi}\int_{-1100\pi}^{1100\pi} e^{j w t}\,dw.
Avalio a integral (faço passo a passo):
\int_{-1100\pi}^{1100\pi} e^{j w t}\,dw =\left.\frac{e^{j w t}}{j t}\right|_{w=-1100\pi}^{w=1100\pi} =\frac{e^{j1100\pi t}-e^{-j1100\pi t}}{j t}.
Reconhecendo a diferença de exponenciais como 2j\sin:
\frac{e^{j1100\pi t}-e^{-j1100\pi t}}{j t} =\frac{2j\sin(1100\pi t)}{j t}= \frac{2\sin(1100\pi t)}{t}.
Multiplicando pelo fator 1/(2\pi):
f(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\sin(1100\pi t)}{t} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin(1100\pi t)}{t}.
Observação didática rápida: essa função é uma versão do sinc (função de espalhamento no tempo) gerada pela janela retangular em w. Em forma alternativa,
f(t)=\frac{\sin(1100\pi t)}{\pi t}.

Passo 3

Mostrar a identidade pedida (item b):
\mathcal{F}^{-1}\{\pi\delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)\}.
Aplicando a definição da transformada inversa:
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\big(\pi\delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)\big)e^{j w t}\,dw =\frac{\pi}{2\pi}\big(e^{j w_0 t}+e^{-j w_0 t}\big).
Isso simplifica para
\frac{1}{2}\big(e^{j w_0 t}+e^{-j w_0 t}\big)=\cos(w_0 t).
Portanto está demonstrado que
\mathcal{F}^{-1}\{\pi\delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)\}=\cos(w_0 t).

Passo 4

Calcular G(w)=\mathcal{F}\{g(t)\} (item c).
Usando a linearidade e a fórmula \mathcal{F}\{\cos(w_0 t)\}=\pi[\delta(w-w_0)+\delta(w+w_0)], cada termo contribui:
  • Para 4\cos(1568\pi t) a transformada é 4\pi\big[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)\big].
  • Para 2\cos(2352\pi t) a transformada é 2\pi\big[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)\big].
  • Para 3\cos(3136\pi t) a transformada é 3\pi\big[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)\big].
Somando:
G(w)=4\pi\big[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)\big] +2\pi\big[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)\big] +3\pi\big[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)\big].

Passo 5

Determinar (f*g)(t) usando o domínio da frequência (item d primeiro caso).
Pelo teorema da convolução:
\mathcal{F}\{f*g\}=F(w)\,G(w).
Como F(w) é a janela retangular que vale 1 somente para |w|\le 1100\pi e vale 0 fora, ao multiplicar por G(w) (soma de deltas em \pm1568\pi,\pm2352\pi,\pm3136\pi) cada impulso sobrevive apenas se sua posição estiver dentro do intervalo [-1100\pi,1100\pi]. As posições das deltas em G(w) são \pm1568\pi,\pm2352\pi,\pm3136\pi, que satisfazem
1568\pi>1100\pi,\qquad 2352\pi>1100\pi,\qquad 3136\pi>1100\pi,
logo todas estão fora do intervalo de passagem de F(w). Portanto F(w)G(w)=0 (função nula) e assim
(f*g)(t)=0\quad\text{(sinal nulo, ``sem som'')}.

Passo 6

Determinar \big(f*(g(\tfrac{t}{3}))\big)(t).
Primeiro achar a transformada de g(t/3). Aplicando a propriedade de escala:
\mathcal{F}\{g(t/3)\}=3\,G(3w).
Trabalhando com os deltas (uso a identidade \delta(a x-x_0)=\tfrac{1}{|a|}\delta(x-x_0/a)), cada delta em G(3w) provoca um delta em w=\dfrac{\text{posição original}}{3}çã e o fator 3 externo cancela o 1/3 da mudança de variável, resultando explicitamente em
\mathcal{F}\{g(t/3)\} =4\pi\big[\delta(w-\tfrac{1568\pi}{3})+\delta(w+\tfrac{1568\pi}{3})\big] +2\pi\big[\delta(w-\tfrac{2352\pi}{3})+\delta(w+\tfrac{2352\pi}{3})\big] +3\pi\big[\delta(w-\tfrac{3136\pi}{3})+\delta(w+\tfrac{3136\pi}{3})\big].
Agora multiplicar pelo filtro F(w). As posições são \pm\frac{1568\pi}{3},\pm\frac{2352\pi}{3},\pm\frac{3136\pi}{3}. Numérico:
\frac{1568\pi}{3}<1100\pi,\qquad \frac{2352\pi}{3}<1100\pi,\qquad \frac{3136\pi}{3}<1100\pi,
pois 1568/3\approx 522{,}7, 2352/3=784, 3136/3\approx1045{,}3, todas menores que 1100. Portanto todas as deltas permanecem (o filtro passa essas frequências). Assim
\mathcal{F}\{f*(g(t/3))\}=F(w)\,\mathcal{F}\{g(t/3)\}=\mathcal{F}\{g(t/3)\}.
Invertendo, concluímos
(f*(g(t/3)))(t)=g(t/3).

Passo 7

Identificar as notas musicais (mapeamento frequências → notas) para marcar as opções.
Primeiro converto as frequências angulares em frequências em Hz por f=\dfrac{w}{2\pi}.
  • Para g(t) as componentes têm w=1568\pi,2352\pi,3136\pi então
f_1=\frac{1568\pi}{2\pi}=784\\ \text{Hz},\qquad f_2=\frac{2352\pi}{2\pi}=1176\\ \text{Hz},\qquad f_3=\frac{3136\pi}{2\pi}=1568\\ \text{Hz}.
Reconhecimento musical (referência A_4=440 Hz): 784 Hz é muito próximo de 783{,}99 Hz, que é G_5 (Sol na escala 5). 1568 Hz é o dobro de 784, ou seja G_6 (Sol na escala 6). 1176 Hz é 1{,}5\times 784, correspondente a D_6 (Ré na escala 6) — observe que “Ré” não está entre as opções fornecidas, então essa componente não aparece como opção direta nas alternativas listadas.
Para g(t/3) (ou seja g reduzido em velocidade 3 vezes), as frequências dividem por 3:
\tilde f_1=\frac{784}{3}\approx261{,}33\\ \text{Hz},\qquad \tilde f_2=\frac{1176}{3}=392\\ \text{Hz},\qquad \tilde f_3=\frac{1568}{3}\approx522{,}67\\ \text{Hz}.
Esses valores se relacionam com notas padrão:
  • \tilde f_1\approx261{,}33 Hz é praticamente C_4 (Dó na escala 4, valor padrão 261{,}63 Hz).
  • \tilde f_2=392 Hz é exatamente G_4 (Sol na escala 4).
  • \tilde f_3\approx522{,}67 Hz é muito próximo de C_5 (Dó na escala 5, padrão 523{,}25 Hz).
Conclusões para marcação:
  • Para g(t): há claramente componentes correspondentes a Sol na escala 5 ( 784 Hz) e Sol na escala 6 ( 1568 Hz). A componente de 1176 Hz é Ré (não listada entre as opções), então não se marca como Dó ou Lá.
  • Para (f*g)(t): é sinal nulo, logo “Sem som ((f*g)(t)=0)”.
  • Para (f*(g(t/3)))(t): já provamos que é igual a g(t/3), cujas componentes aproximadas são Dó na escala 4, Sol na escala 4 e Dó na escala 5 — essas três opções estão entre as alternativas dadas.

Resposta

a) f(t)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{\sin(1100\pi t)}{t}.
b) \mathcal{F}^{-1}\{\pi\delta(w-w_0)+\pi\delta(w+w_0)\}=\cos(w_0 t).
c) G(w)=4\pi\big[\delta(w-1568\pi)+\delta(w+1568\pi)\big] +2\pi\big[\delta(w-2352\pi)+\delta(w+2352\pi)\big] +3\pi\big[\delta(w-3136\pi)+\delta(w+3136\pi)\big].
d) Marcações:
  • (f*g)(t): Sem som ((f * g)(t)=0)
  • g(t): Sol na escala 5; Sol na escala 6
  • (f*(g(t/3)))(t): Dó na escala 4; Sol na escala 4; Dó na escala 5

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