Considere a integral dupla I=\int_{D} \int 42 x e^{y} d y d x, em que D é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas y=6 x^{2} e y=7-7 x^{2} para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • O enunciado fornece a integral dupla
I=\iint_{D} 42\,x\,e^{y}\,dy\,dx,
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelas parábolas
y=6x^{2}\quad\text{e}\quad y=7-7x^{2}.
  • A pergunta (item a) pede: tomando x como variável independente (ou seja, integrando primeiro em y e depois em x), expressar I como uma única integral dupla com os limites de integração corretos.

Passo 2

Precisamos encontrar o intervalo de x em que as duas curvas se cruzam dentro do primeiro quadrante. Para isso calculamos a interseção resolvendo
6x^{2}=7-7x^{2}.
Agora faço a álgebra passo a passo:
6x^{2}+7x^{2}=7 \quad\Rightarrow\quad 13x^{2}=7,
x^{2}=\frac{7}{13}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{7}{13}}.
Como a região está no primeiro quadrante, só nos interessa a solução positiva. Logo o intervalo de x onde as curvas se intersectam é
0\le x\le \sqrt{\frac{7}{13}}.

Passo 3

Agora, para cada x fixo no intervalo \left[0,\sqrt{\tfrac{7}{13}}\right] devemos determinar qual curva fornece o limite inferior em y e qual fornece o limite superior.
Calculo a diferença
(7-7x^{2})-(6x^{2})=7-13x^{2}.
Para x^{2}<\tfrac{7}{13} (ou seja, para 0\le x<\sqrt{\tfrac{7}{13}}) essa diferença é positiva, portanto
6x^{2}\le y\le 7-7x^{2}.
Assim, para cada x no intervalo, o menor valor de y é 6x^{2} e o maior é 7-7x^{2}.

Passo 4

Com os limites de x e os limites de y para cada x identificados, escrevemos a integral na ordem dy\,dx. O integrando é 42\,x\,e^{y} e, então, a integral fica
I=\int_{x=0}^{\,\sqrt{\tfrac{7}{13}}}\left(\int_{y=6x^{2}}^{\,7-7x^{2}}42\,x\,e^{y}\,dy\right)dx.
Explicando por que isso faz sentido: a integral interior \int_{6x^{2}}^{7-7x^{2}}(\cdot)\,dy soma verticalmente (em y) para um x fixo, e depois a integral exterior varre x de 0 até o ponto de interseção \sqrt{\tfrac{7}{13}}.

Passo 5

Como bônus didático (útil na prova), mostro rapidamente como ficaria a integral após calcular a integral interna em y, porque isso costuma ser pedido em seguida.
  • A integral interna em y, com x tratado como constante, é
\int 42\,x\,e^{y}\,dy = 42\,x\,e^{y} + C.
  • Avaliando entre y=6x^{2} e y=7-7x^{2} obtemos a função de x a ser integrada:
42\,x\bigl(e^{7-7x^{2}}-e^{6x^{2}}\bigr).
Portanto a integral reduz-se (após a integração em y) a
I=\int_{0}^{\sqrt{\tfrac{7}{13}}}42\,x\bigl(e^{7-7x^{2}}-e^{6x^{2}}\bigr)\,dx,
que é uma única integral em x pronta para ser resolvida por substituições do tipo u=7-7x^{2} e v=6x^{2} se for necessário calcular o valor numérico.

Resposta

I=\int_{0}^{\sqrt{\tfrac{7}{13}}}\int_{6x^{2}}^{\,7-7x^{2}}42\,x\,e^{y}\,dy\,dx

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