Considere a integral dupla
, em que
é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas
e
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
a) Tomando
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- O enunciado fornece a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas parábolas
- A pergunta (item a) pede: tomando
como variável independente (ou seja, integrando primeiro em e depois em ), expressar como uma única integral dupla com os limites de integração corretos.
Passo 2
Precisamos encontrar o intervalo de
em que as duas curvas se cruzam dentro do primeiro quadrante. Para isso calculamos a interseção resolvendo
Agora faço a álgebra passo a passo:
Como a região está no primeiro quadrante, só nos interessa a solução positiva. Logo o intervalo de
onde as curvas se intersectam é
Passo 3
Agora, para cada
fixo no intervalo
devemos determinar qual curva fornece o limite inferior em
e qual fornece o limite superior.
Calculo a diferença
Para
(ou seja, para
) essa diferença é positiva, portanto
Assim, para cada
no intervalo, o menor valor de
é
e o maior é
.
Passo 4
Com os limites de
e os limites de
para cada
identificados, escrevemos a integral na ordem
. O integrando é
e, então, a integral fica
Explicando por que isso faz sentido: a integral interior
soma verticalmente (em
) para um
fixo, e depois a integral exterior varre
de
até o ponto de interseção
.
Passo 5
Como bônus didático (útil na prova), mostro rapidamente como ficaria a integral após calcular a integral interna em
, porque isso costuma ser pedido em seguida.
- A integral interna em
, com tratado como constante, é
- Avaliando entre
e obtemos a função de a ser integrada:
Portanto a integral reduz-se (após a integração em
) a
que é uma única integral em
pronta para ser resolvida por substituições do tipo
e
se for necessário calcular o valor numérico.