2- Demonstre o TVI para uma função contínua
em
. Em seguida, aplique-o para provar que
tem solução em
.
Passo 1
O enunciado nos pede para demonstrar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para uma função contínua em
e depois aplicá-lo para provar que
tem solução em
. Os conceitos principais são continuidade, completude dos reais e a construção de um conjunto cujo supremo fornece o ponto desejado.
Passo 2
Seja
contínua e escolha
tal que
. Definimos
Como
, temos
. Como
, ele está limitado acima por
. Pela completude de
, o supremo
existe e pertence a
.
Passo 3
Vamos mostrar que
. Como há sequências
com
e
, pela continuidade de
em
segue
Agora, suponha, por absurdo, que
. A continuidade de
em
garante um
tal que
para todo
. Isso implicaria que existem pontos maiores que
em
, contradizendo
. Logo,
. Com isso, concluímos
.
Passo 4
Defina
. Por ser soma e composição de funções contínuas,
é contínua em
. Calculamos
Como
está entre
e
, pelo TVI existe
tal que
, ou seja,
.
Resposta
Existe pelo menos uma
tal que
.