2- Demonstre o TVI para uma função contínua f em [a, b]. Em seguida, aplique-o para provar que
\cos (x)=x
tem solução em [0, \pi / 2].

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para uma função contínua em [a,b] e depois aplicá-lo para provar que \cos(x)=x tem solução em [0,\pi/2]. Os conceitos principais são continuidade, completude dos reais e a construção de um conjunto cujo supremo fornece o ponto desejado.

Passo 2

Seja f\colon [a,b]\to\mathbb{R} contínua e escolha N tal que f(a)<N<f(b). Definimos
S = \{\,x\in [a,b]\mid f(x)\le N\}
Como f(a)\le N, temos a\in S. Como S\subset[a,b], ele está limitado acima por b. Pela completude de \mathbb{R}, o supremo c=\sup S existe e pertence a [a,b].

Passo 3

Vamos mostrar que f\text{(c)}=N. Como há sequências x_n\in S com x_n\to c e f(x_n)\le N, pela continuidade de f em c segue
f\text{(c)}=\lim_{n\to\infty}f(x_n)\le N
Agora, suponha, por absurdo, que f\text{(c)}<N. A continuidade de f em c garante um \delta>0 tal que f(x)<N para todo x\in(c,c+\delta)\cap[a,b]. Isso implicaria que existem pontos maiores que c em S, contradizendo c=\sup S. Logo, f\text{(c)}\ge N. Com isso, concluímos f\text{(c)}=N.

Passo 4

Defina g(x)=\cos(x)-x. Por ser soma e composição de funções contínuas, g é contínua em [0,\pi/2]. Calculamos
g(0)=\cos(0)-0=1>0
g(\tfrac{\pi}{2})=\cos(\tfrac{\pi}{2})-\tfrac{\pi}{2}=-\tfrac{\pi}{2}<0
Como 0 está entre g(0) e g(\tfrac{\pi}{2}), pelo TVI existe \xi\in[0,\pi/2] tal que g(\xi)=0, ou seja, \cos(\xi)=\xi.

Resposta

Existe pelo menos uma \xi\in[0,\pi/2] tal que \cos(\xi)=\xi.

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