4- Demonstre que
atinge máximo e mínimo em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida no intervalo fechado
. O objetivo é mostrar que ela atinge máximo e mínimo nesse intervalo. O conteúdo envolvido é o Teorema de Weierstrass (extremos de funções contínuas em intervalos compactos) e a determinação dos pontos críticos via derivada.
Passo 2
Observamos que
é um polinomial, logo é contínua em
e em particular em
. Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em intervalo fechado e limitado sempre atinge valor mínimo e valor máximo nesse intervalo.
Passo 3
Para localizar onde esses extremos ocorrem, calculamos a derivada de
, pois os pontos críticos (onde
se anula ou não existe) são candidatos a extremos internos:
Igualando a zero, obtemos o único ponto crítico interno:
Passo 4
Além dos pontos críticos, devemos avaliar
também nas bordas do intervalo, ou seja, em
e em
. Calculamos:
Passo 5
Comparando os valores:
– O menor valor é , atingido em
.
– O maior valor é , atingido em
e em
.
– O menor valor é
– O maior valor é
Resposta
A função
atinge mínimo igual a
em
e máximo igual a
em
e
.