4- Demonstre que
f(x)=x^{2}
atinge máximo e mínimo em [-1,1].

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2 definida no intervalo fechado [-1,1]. O objetivo é mostrar que ela atinge máximo e mínimo nesse intervalo. O conteúdo envolvido é o Teorema de Weierstrass (extremos de funções contínuas em intervalos compactos) e a determinação dos pontos críticos via derivada.

Passo 2

Observamos que f(x)=x^2 é um polinomial, logo é contínua em \mathbb{R} e em particular em [-1,1]. Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em intervalo fechado e limitado sempre atinge valor mínimo e valor máximo nesse intervalo.

Passo 3

Para localizar onde esses extremos ocorrem, calculamos a derivada de f, pois os pontos críticos (onde f' se anula ou não existe) são candidatos a extremos internos:
f'(x)=2x.
Igualando a zero, obtemos o único ponto crítico interno:
2x=0\implies x=0.

Passo 4

Além dos pontos críticos, devemos avaliar f também nas bordas do intervalo, ou seja, em x=-1 e em x=1. Calculamos:
f(-1)=(-1)^2=1,\quad f(0)=0^2=0,\quad f(1)=1^2=1.

Passo 5

Comparando os valores:
– O menor valor é 0, atingido em x=0.
– O maior valor é 1, atingido em x=-1 e em x=1.

Resposta

A função f(x)=x^2 atinge mínimo igual a 0 em x=0 e máximo igual a 1 em x=-1 e x=1.

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