\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{2} x}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{2}x}{x^{2}+y^{2}}.
Este é um problema de limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos tentar transformar em coordenadas polares, o que nos ajuda a verificar se o valor do limite independe da direção de chegada.

Passo 2

Observe que o numerador pode ser fatorado:
\frac{x^{3}-y^{2}x}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Em coordenadas polares, x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2}, \quad x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos2\theta,
x=r\cos\theta.
Substituindo na fração:
\frac{x\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r\cos\theta\;\bigl(r^{2}\cos2\theta\bigr)}{r^{2}} =r\cos\theta\;\cos2\theta.

Passo 4

Temos
f(r,\theta)=r\cos\theta\;\cos2\theta.
Como \bigl|\cos\theta\;\cos2\theta\bigr|\le1, vale
\bigl|f(r,\theta)\bigr|\le r.
Quando r\to0, o lado direito tende a 0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze), f(r,\theta)\to0, independentemente de \theta.

Resposta

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