3- Explique por que
não satisfaz o teorema de Weierstrass em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar por que a função
definida em
não satisfaz o teorema de Weierstrass. Esse teorema afirma que “toda função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo”. Veremos que em
as hipóteses de Weierstrass falham.
Passo 2
Para aplicar o teorema de Weierstrass precisamos que o domínio seja compacto em
, isto é, fechado e limitado. Embora
seja limitado, ele não é fechado pois não contém os pontos de fronteira
e
. Logo
não é compacto, e a hipótese do teorema já não vale.
Passo 3
Além disso, examine o comportamento de
perto de
e de
. Quando
,
portanto
não é limitada superiormente em
e não pode ter máximo finito. Já quando
,
logo o ínfimo de
em
é
, mas esse valor não é atingido em nenhum
, logo não há mínimo.
Resposta
A função falha em satisfazer o teorema de Weierstrass porque seu domínio
não é compacto (não é fechado) e, de fato,
não é limitada nem atinge nem máximo nem mínimo em
.