3- Explique por que
f(x)=\frac{1}{x}
não satisfaz o teorema de Weierstrass em (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar por que a função
f(x)=\frac{1}{x}
definida em (0,1) não satisfaz o teorema de Weierstrass. Esse teorema afirma que “toda função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo”. Veremos que em (0,1) as hipóteses de Weierstrass falham.

Passo 2

Para aplicar o teorema de Weierstrass precisamos que o domínio seja compacto em \mathbb{R}, isto é, fechado e limitado. Embora (0,1) seja limitado, ele não é fechado pois não contém os pontos de fronteira 0 e 1. Logo (0,1) não é compacto, e a hipótese do teorema já não vale.

Passo 3

Além disso, examine o comportamento de f perto de 0 e de 1. Quando x\to0^+,
f(x)=\frac{1}{x}\to+\infty,
portanto f não é limitada superiormente em (0,1) e não pode ter máximo finito. Já quando x\to1^-,
f(x)=\frac{1}{x}\to1,
logo o ínfimo de f em (0,1) é \inf f=1, mas esse valor não é atingido em nenhum x<1, logo não há mínimo.

Resposta

A função falha em satisfazer o teorema de Weierstrass porque seu domínio (0,1) não é compacto (não é fechado) e, de fato, f não é limitada nem atinge nem máximo nem mínimo em (0,1).

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