Demonstre, usando a definição de Transformada de Laplace, as seguintes fórmulas:
Passo 1
Então, a gente quer mostrar usando a definição de Transformada de Laplace que:
Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil na resolução de equações diferenciais e no estudo de sistemas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da Transformada de Laplace e fazer alguns cálculos de integração.
Passo 2
Vamos começar pela definição da Transformada de Laplace. Para uma função $ f(t) $, a Transformada de Laplace é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t \cos(a t) $. Então, substituindo na definição, temos:
Passo 3
Agora, para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
- $ u = t $
$ du = dt $ - $ dv = e^{-s t} \cos(a t) , dt $
precisamos encontrar $ v $
Passo 4
Para encontrar $ v $, precisamos integrar $ dv $:
Essa integral é conhecida e pode ser resolvida usando fórmulas padrão de integrais envolvendo exponenciais e funções trigonométricas. O resultado é:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo $ u $, $ v $ e $ du $:
Passo 6
Vamos analisar o primeiro termo $ t \cdot v \Big|_{0}^{\infty} $:
- Para $ t = 0 $, o termo é zero.
- Para $ t \to \infty $, considerando que $ s > 0 $, o termo $ e^{-s t} $ tende a zero mais rapidamente que qualquer crescimento de $ t $, fazendo com que o limite seja zero.
Portanto, o primeiro termo desaparece e temos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Usando as fórmulas padrão da Transformada de Laplace:
Então, substituindo:
Passo 8
Voltando à nossa expressão anterior:
No entanto, percebemos que houve um sinal negativo no processo de integração por partes. Para ajustar isso, devemos considerar que $ \mathcal{L}{t \cos(a t)} $ é igual:
Resposta
Portanto, demonstramos que: