Encontre a transformada de Laplace inversa:
F(s)=2 s^3-5 s^2+18 s-10(s^2+9)(s^2+2) F(s)=5 e^-6 s-3 e^-11 s(s+2)(s^2+9)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de duas funções $ F(s) $. O conteúdo envolve a análise de funções racionais e a aplicação de frações parciais para simplificar a expressão antes de encontrar a transformada inversa. Precisaremos entender como decompor as frações e utilizar as tabelas de transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeira Função:
F(s) = 2 s^3 - 5 s^2 + 18 s - 10(s^2 + 9)(s^2 + 2)
Vamos começar decompondo essa fração em frações parciais.

Passo 3

Para decompor $ F(s) $, assumimos que podemos escrevê-la como:
F(s)
Aqui, $ A, B, C $ e $ D $ são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela denominador comum $ (s^{2} + 9)(s^{2} + 2) $ para eliminar as frações:
(s^2 + 9)(s^2 + 2)

Passo 5

Expandindo os termos do lado direito:
2 s^3 - 5 s^2 + 18 s - 10 = A s^3 + 2 A s + B s^2 + 2 B + C s^3 + 9 C s + D s^2 + 9 D
Agrupando os termos semelhantes:
2 s^3 - 5 s^2 + 18 s - 10 = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + (2 A + 9 C) s + (2 B + 9 D)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + C = 2 B + D = -5 2 A + 9 C = 18 2 B + 9 D = -10

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: $ A = 2 - C $
Substituindo na terceira equação:
A = 2 - C
Então, $ A = 2 - 2 = 0 $
Agora, da segunda equação: $ B + D = -5 $
E da quarta equação: $ 2 B + 9 D = -10 $
Substituindo $ B = -5 - D $ na quarta equação:
2(2 - C) + 9 C = 18 Rightarrow 4 - 2 C + 9 C = 18 Rightarrow 7 C = 14 Rightarrow C = 2
Então, $ B = -5 - 0 = -5 $

Passo 8

Agora que temos $ A = 0 $, $ B = -5 $, $ C = 2 $ e $ D = 0 $, substituímos na decomposição inicial:
A = 0

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
L^-1-5s^2 + 9 = -5 cdot sin(3 t)3 = -53 sin(3 t)
L^-12 ss^2 + 2 = 2 cos(raiz2 t)

Passo 10

Somando as transformadas inversas obtidas:
f(t) = -53 sin(3 t) + 2 cos(raiz2 t)

Passo 11

Agora, vamos resolver a segunda função:
F(s) = 5 e^-6 s - 3 e^-11 s(s + 2)(s^2 + 9)
Essa função envolve termos exponenciais que indicam atrasos no tempo. Precisamos aplicar a propriedade da transformada de Laplace para funções retardadas.

Passo 12

Primeiro, vamos separar os dois termos:
F(s) = 5 e^-6 s(s + 2)(s^2 + 9) - 3 e^-11 s(s + 2)(s^2 + 9)

Passo 13

Vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Começaremos com:
F1(s) = 5 e^-6 s(s + 2)(s^2 + 9)

Passo 14

Para encontrar $ \mathcal{L}^{-1}{F_1(s)} $, identificamos que existe um atraso de $ a = 6 $ segundos. Usaremos a propriedade:
L^-1F1(s)
onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário.

Passo 15

Primeiro, encontraremos a transformada inversa de:
F1a(s) = 5(s + 2)(s^2 + 9)
Vamos decompor em frações parciais:
5(s + 2)(s^2 + 9) = As + 2 + B s + Cs^2 + 9

Passo 16

Multiplicando ambos os lados por $ (s + 2)(s^{2} + 9) $:
(s + 2)(s^2 + 9)
Expandindo:
5 = A(s^2 + 9) + (B s + C)(s + 2)
Agrupando termos semelhantes:
5 = A s^2 + 9 A + B s^2 + 2 B s + C s + 2 C

Passo 17

Igualando os coeficientes:
A + B = 0 2 B + C = 0 9 A + 2 C = 5

Passo 18

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ B = -A $
Da segunda equação: $ C = -2 B = 2 A $
Substituindo na terceira equação:
B = -A
Então, $ B = -\frac{5}{13} $ e $ C = \frac{10}{13} $

Passo 19

Substituindo os valores de $ A, B $ e $ C $:
A, B
Simplificando:
C

Passo 20

Aplicando a transformada inversa:
L^-1513 cdot 1s + 2 = 513 e^-2 t
L^-1-5 s + 1013 (s^2 + 9) = -513 cos(3 t) + 1013 cdot 3 sin(3 t) = -513 cos(3 t) + 1039 sin(3 t)

Passo 21

Agora, aplicamos a propriedade do atraso:
L^-15 e^-6 s(s + 2)(s^2 + 9) = u(t - 6) [ 513 e^-2 (t - 6) - 513 cos[3 (t - 6)] + 1039 sin[3 (t - 6)] ]

Passo 22

Repetimos o mesmo processo para o segundo termo:
F2(s) = -3 e^-11 s(s + 2)(s^2 + 9)
Seguindo os mesmos passos, obteremos:
L^-1-3 e^-11 s(s + 2)(s^2 + 9) = u(t - 11) [ -313 e^-2 (t - 11) + 313 cos[3 (t - 11)] - 639 sin[3 (t - 11)] ]

Passo 23

Finalmente, somamos as duas transformadas inversas:
f(t) = u(t - 6) [ 513 e^-2 (t - 6) - 513 cos(3 (t - 6)) + 1039 sin(3 (t - 6)) ] + u(t - 11) [ -313 e^-2 (t - 11) + 313 cos(3 (t - 11)) - 639 sin(3 (t - 11)) ]

Resposta

A transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{5 e^{-6 s} - 3 e^{-11 s}}{(s + 2)(s^{2} + 9)} $ é:
F(s) = 5 e^-6 s - 3 e^-11 s(s + 2)(s^2 + 9)
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que representa o atraso no tempo.

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