Encontre a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de duas funções $ F(s) $. O conteúdo envolve a análise de funções racionais e a aplicação de frações parciais para simplificar a expressão antes de encontrar a transformada inversa. Precisaremos entender como decompor as frações e utilizar as tabelas de transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeira Função:
Vamos começar decompondo essa fração em frações parciais.
Passo 3
Para decompor $ F(s) $, assumimos que podemos escrevê-la como:
Aqui, $ A, B, C $ e $ D $ são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pela denominador comum $ (s^{2} + 9)(s^{2} + 2) $ para eliminar as frações:
Passo 5
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: $ A = 2 - C $
Substituindo na terceira equação:
Então, $ A = 2 - 2 = 0 $
Agora, da segunda equação: $ B + D = -5 $
E da quarta equação: $ 2 B + 9 D = -10 $
Substituindo $ B = -5 - D $ na quarta equação:
Então, $ B = -5 - 0 = -5 $
Passo 8
Agora que temos $ A = 0 $, $ B = -5 $, $ C = 2 $ e $ D = 0 $, substituímos na decomposição inicial:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
Passo 10
Somando as transformadas inversas obtidas:
Passo 11
Agora, vamos resolver a segunda função:
Essa função envolve termos exponenciais que indicam atrasos no tempo. Precisamos aplicar a propriedade da transformada de Laplace para funções retardadas.
Passo 12
Primeiro, vamos separar os dois termos:
Passo 13
Vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Começaremos com:
Passo 14
Para encontrar $ \mathcal{L}^{-1}{F_1(s)} $, identificamos que existe um atraso de $ a = 6 $ segundos. Usaremos a propriedade:
onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário.
Passo 15
Primeiro, encontraremos a transformada inversa de:
Vamos decompor em frações parciais:
Passo 16
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 2)(s^{2} + 9) $:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 17
Igualando os coeficientes:
Passo 18
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ B = -A $
Da segunda equação: $ C = -2 B = 2 A $
Substituindo na terceira equação:
Então, $ B = -\frac{5}{13} $ e $ C = \frac{10}{13} $
Passo 19
Substituindo os valores de $ A, B $ e $ C $:
Simplificando:
Passo 20
Aplicando a transformada inversa:
Passo 21
Agora, aplicamos a propriedade do atraso:
Passo 22
Repetimos o mesmo processo para o segundo termo:
Seguindo os mesmos passos, obteremos:
Passo 23
Finalmente, somamos as duas transformadas inversas:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{5 e^{-6 s} - 3 e^{-11 s}}{(s + 2)(s^{2} + 9)} $ é:
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que representa o atraso no tempo.