Determine uma familia de soluçōes a um paràmetro para d yd x+2 yx=-1x^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
dydx + 2yx = -1x^3
Essa equação é do tipo linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, temos:
  • $ P(x) = \frac{2}{x} $
  • $ Q(x) = \frac{-1}{x^{3}} $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ($ \mu(x) $), que é dado por:
mu(x)
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, o fator integrante é:
P(x)
Como $ x $ está no denominador original, consideramos $ x > 0 $, então podemos simplificar para:
integral 2x dx = 2 ln|x|

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando cada termo:
x^2 cdot dydx + x^2 cdot 2yx = x^2 cdot -1x^3

Passo 5

A equação se torna uma derivada do produto:
ddx (x^2 y) = -1x
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx (x^2 y) dx = integral -1x dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
y
Como estamos considerando $ x > 0 $, podemos simplificar para:
y = -ln|x| + Cx^2

Resposta

Uma família de soluções é dada por:
y(x) = C - ln xx^2
onde $ C $ é uma constante real.

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