Determine uma familia de soluçōes a um paràmetro para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Essa equação é do tipo linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
- $ P(x) = \frac{2}{x} $
- $ Q(x) = \frac{-1}{x^{3}} $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante ($ \mu(x) $), que é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Então, o fator integrante é:
Como $ x $ está no denominador original, consideramos $ x > 0 $, então podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando cada termo:
Passo 5
A equação se torna uma derivada do produto:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
Como estamos considerando $ x > 0 $, podemos simplificar para:
Resposta
Uma família de soluções é dada por:
onde $ C $ é uma constante real.