Exercício 8.12 Calcule a soma das séries indicadas (a soma corresponde a f(a), onde a é um número óbvio e f é dada por uma série de potências. Em geral, a série deverá ser manipulada até se encontrar uma série de potências conhecida):
4. sumn=0^+infty 2 n+12^n n!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
sumn=0^infty 2n+12^n,n!
Estamos no tema de séries de potências, especialmente usando a série do exponencial e^x=sumn=0^inftyx^nn!.

Passo 2

Para facilitar, dividimos a soma em duas partes:
sumn=0^infty 2n+12^n,n! =2sumn=0^infty n2^n,n!+sumn=0^infty 12^n,n!
Assim, vamos reconhecer cada série conhecida.

Passo 3

Lembrando que
sumn=0^infty 12^n,n!=e^1/2
e que
sumn=0^infty n2^n,n! =sumn=1^infty 12^n,(n-1)! =12sumk=0^infty 12^k,k! =12e^1/2
onde trocamos n-1=k na segunda soma.

Passo 4

Agora basta combinar os resultados:
S=2cdot12e^1/2+e^1/2=e^1/2+e^1/2=2e^1/2

Resposta

2e^1/2

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