Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(d)
, para todo inteiro
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, usando indução, que a desigualdade abaixo é verdadeira para todo inteiro maior ou igual a 5:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A desigualdade a provar é
. - O método exigido é demonstração por indução matemática.
- O domínio da afirmação é o conjunto dos inteiros
com .
Passo 2
Breve explicação do princípio de indução (passo-a-passo do que faremos).
- Base da indução: verificar a desigualdade para
. - Passo indutivo: assumir que a desigualdade vale para algum
(hipótese indutiva) e mostrar que então ela vale para .
Se conseguirmos esses dois passos, pelo princípio da indução a desigualdade valerá para todo inteiro.
Passo 3
Base da indução (
). Calcular ambos os lados:
Como
, a desigualdade é verdadeira para
. Portanto a base da indução está estabelecida.
Passo 4
Formulação da hipótese indutiva. Suponha que para algum inteiro arbitrário
valha
A partir dessa hipótese vamos tentar provar a desigualdade para
, ou seja, provar que
Passo 5
Usar a hipótese para obter uma comparação com
. Multiplicando a desigualdade da hipótese por
(número positivo, logo mantém a desigualdade) obtemos:
Portanto basta provar que
pois então, por transitividade, teremos
.
Passo 6
Transformar a desigualdade desejada em uma forma mais simples. Dividindo ambos os lados de
por
(válido pois
), obtemos a desigualdade equivalente
Agora precisamos mostrar que, para todo
,
Passo 7
Comparar
com
. Para
vale
Como a função
é crescente para
, elevações preservam desigualdades; assim
Calcular
em forma de fração para ficar exato:
Comparando com
(escrevendo
) obtemos
Portanto
, o que implica a desigualdade do Passo 6:
Passo 8
Retornando ao encadeamento do Passo 5: da hipótese indutiva obtivemos
. Do Passo 7 temos
. Compondo essas desigualdades segue
Assim o passo indutivo está concluído: a validade para
implica a validade para
.
Passo 9
Conclusão pelo princípio da indução. Como a desigualdade foi verificada para
(base) e mostramos que, para qualquer
,
implica
(passo indutivo), segue que a desigualdade vale para todo inteiro
. Força aí — você já tem a prova pronta para usar na prova!