Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(d) 4^{n}>n^{4}, para todo inteiro n \geq 5.

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, usando indução, que a desigualdade abaixo é verdadeira para todo inteiro maior ou igual a 5:
4^{n} > n^{4},\qquad \text{para todo inteiro } n\ge 5.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A desigualdade a provar é \;4^{n} > n^{4}\;.
  • O método exigido é demonstração por indução matemática.
  • O domínio da afirmação é o conjunto dos inteiros n com n\ge 5.

Passo 2

Breve explicação do princípio de indução (passo-a-passo do que faremos).
  • Base da indução: verificar a desigualdade para n=5.
  • Passo indutivo: assumir que a desigualdade vale para algum k\ge 5 (hipótese indutiva) e mostrar que então ela vale para k+1.
    Se conseguirmos esses dois passos, pelo princípio da indução a desigualdade valerá para todo inteiro n\ge 5.

Passo 3

Base da indução ( n=5). Calcular ambos os lados:
4^{5}=1024, \qquad 5^{4}=625.
Como 1024>625, a desigualdade é verdadeira para n=5. Portanto a base da indução está estabelecida.

Passo 4

Formulação da hipótese indutiva. Suponha que para algum inteiro arbitrário k\ge 5 valha
4^{k} > k^{4}.
A partir dessa hipótese vamos tentar provar a desigualdade para n=k+1, ou seja, provar que
4^{k+1} > (k+1)^{4}.

Passo 5

Usar a hipótese para obter uma comparação com 4^{k+1}. Multiplicando a desigualdade da hipótese por 4 (número positivo, logo mantém a desigualdade) obtemos:
4^{k+1}=4\cdot 4^{k} > 4\cdot k^{4}.
Portanto basta provar que
4\cdot k^{4} > (k+1)^{4},
pois então, por transitividade, teremos 4^{k+1}>(k+1)^{4}.

Passo 6

Transformar a desigualdade desejada em uma forma mais simples. Dividindo ambos os lados de 4\cdot k^{4} > (k+1)^{4} por k^{4}>0 (válido pois k\ge 5), obtemos a desigualdade equivalente
4 > \left(1+\frac{1}{k}\right)^{4}.
Agora precisamos mostrar que, para todo k\ge 5,
\left(1+\frac{1}{k}\right)^{4} < 4.

Passo 7

Comparar \left(1+\dfrac{1}{k}\right) com \dfrac{6}{5}. Para k\ge 5 vale
1+\frac{1}{k} \le 1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}.
Como a função x\mapsto x^{4} é crescente para x>0, elevações preservam desigualdades; assim
\left(1+\frac{1}{k}\right)^{4} \le \left(\frac{6}{5}\right)^{4}.
Calcular \left(\dfrac{6}{5}\right)^{4} em forma de fração para ficar exato:
\left(\frac{6}{5}\right)^{4}=\frac{6^{4}}{5^{4}}=\frac{1296}{625}.
Comparando com 4 (escrevendo 4=\dfrac{2500}{625}) obtemos
\frac{1296}{625} < \frac{2500}{625}=4.
Portanto \left(1+\dfrac{1}{k}\right)^{4} \le \dfrac{1296}{625} <4, o que implica a desigualdade do Passo 6:
4 > \left(1+\frac{1}{k}\right)^{4}.

Passo 8

Retornando ao encadeamento do Passo 5: da hipótese indutiva obtivemos 4^{k+1} > 4k^{4}. Do Passo 7 temos 4k^{4} > (k+1)^{4}. Compondo essas desigualdades segue
4^{k+1} > (k+1)^{4}.
Assim o passo indutivo está concluído: a validade para k implica a validade para k+1.

Passo 9

Conclusão pelo princípio da indução. Como a desigualdade foi verificada para n=5 (base) e mostramos que, para qualquer k\ge 5, 4^{k}>k^{4} implica 4^{k+1}>(k+1)^{4} (passo indutivo), segue que a desigualdade vale para todo inteiro n\ge 5. Força aí — você já tem a prova pronta para usar na prova!

Resposta

4^{n}>n^{4},\qquad \text{para todo inteiro } n\ge 5.

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