Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(f)
, para todo inteiro
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para provar que a desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.
Informações dadas e anotações úteis:
- A notação
significa o produto dos inteiros positivos de até , isto é,
- O objetivo é mostrar que, a partir de
, o produto crescente é maior que o cubo para todo inteiro maior ou igual a .
Passo 2
Vou usar o princípio da indução matemática. Resumo do método (explicado devagarinho):
- Base da indução: verificar a desigualdade para o primeiro valor
. - Passo indutivo: assumir que a desigualdade vale para um inteiro arbitrário
(hipótese de indução), ou seja, supor , e então provar que disso decorre .
Se a base é verdadeira e o passo indutivo está demonstrado, a desigualdade vale para todo inteiro.
Passo 3
Base da indução (
). Calcular os dois lados:
Como
, a desigualdade vale para
. Portanto, a base da indução está ok.
Passo 4
Passo indutivo — hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro
vale
A meta é provar que então
Passo 5
Escrevendo
em termos de
:
Pela hipótese de indução
, então multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 6
Para concluir que
basta mostrar que
pois então, a desigualdade anterior implicaria
.
Dividindo ambos os lados por
, a desigualdade a verificar é equivalente a
Vamos checar que isso é verdadeiro para todo
. Considere a diferença
Reescrevendo,
Para
temos
e
(especificamente, para
temos
e para
o valor de
cresce ainda mais), então
Logo
para todo
, isto é,
Portanto
. Combinando com o resultado do passo anterior, obtemos
Assim o passo indutivo está demonstrado.
Passo 7
Concluímos, pelo princípio da indução matemática, que a desigualdade
vale para todo inteiro
.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.