Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(f) n!>n^{3}, para todo inteiro n \geq 6.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a desigualdade
n!>n^{3}
é verdadeira para todo inteiro n\ge 6.
Informações dadas e anotações úteis:
  • A notação n! significa o produto dos inteiros positivos de 1 até n, isto é,
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n.
  • O objetivo é mostrar que, a partir de n=6, o produto crescente n! é maior que o cubo n^{3} para todo n inteiro maior ou igual a 6.

Passo 2

Vou usar o princípio da indução matemática. Resumo do método (explicado devagarinho):
  • Base da indução: verificar a desigualdade para o primeiro valor n=6.
  • Passo indutivo: assumir que a desigualdade vale para um inteiro arbitrário k\ge 6 (hipótese de indução), ou seja, supor k!>k^{3}, e então provar que disso decorre (k+1)!>(k+1)^{3}.
    Se a base é verdadeira e o passo indutivo está demonstrado, a desigualdade vale para todo inteiro n\ge 6.

Passo 3

Base da indução ( n=6). Calcular os dois lados:
6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720,
6^{3} = 6\cdot6\cdot6 = 216.
Como 720>216, a desigualdade vale para n=6. Portanto, a base da indução está ok.

Passo 4

Passo indutivo — hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro k\ge 6 vale
k!>k^{3}.
A meta é provar que então
(k+1)!>(k+1)^{3}.

Passo 5

Escrevendo (k+1)! em termos de k!:
(k+1)!=(k+1)\cdot k!.
Pela hipótese de indução k!>k^{3}, então multiplicando ambos os lados por (k+1)>0 obtemos
(k+1)!=(k+1)\cdot k!>(k+1)\cdot k^{3}.

Passo 6

Para concluir que (k+1)!>(k+1)^{3} basta mostrar que
(k+1)\cdot k^{3}\ge (k+1)^{3},
pois então, a desigualdade anterior implicaria (k+1)!>(k+1)^{3}.
Dividindo ambos os lados por (k+1)>0, a desigualdade a verificar é equivalente a
k^{3}\ge (k+1)^{2}.
Vamos checar que isso é verdadeiro para todo k\ge 6. Considere a diferença
k^{3}-(k+1)^{2}=k^{3}-k^{2}-2k-1.
Reescrevendo,
k^{3}-k^{2}-2k-1 = k^{2}(k-1)-2k-1.
Para k\ge 6 temos k^{2}(k-1)\ge 36\cdot 5=180 e 2k+1\le 2\cdot k+1\le 2\cdot k+1 (especificamente, para k=6 temos 2k+1=13 e para k>6 o valor de k^{2}(k-1) cresce ainda mais), então
k^{2}(k-1)-2k-1 \ge 180-13=167>0.
Logo k^{3}-(k+1)^{2}>0 para todo k\ge 6, isto é,
k^{3}>(k+1)^{2}.
Portanto (k+1)k^{3}>(k+1)(k+1)^{2}=(k+1)^{3}. Combinando com o resultado do passo anterior, obtemos
(k+1)!>(k+1)k^{3}>(k+1)^{3}.
Assim o passo indutivo está demonstrado.

Passo 7

Concluímos, pelo princípio da indução matemática, que a desigualdade
n!>n^{3}
vale para todo inteiro n\ge 6.

Resposta

A desigualdade n!>n^{3} é verdadeira para todo inteiro n\ge 6.

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