Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(b) 2^{n}>n^{2}, para todo inteiro n \geq 5.

Passo 1

O enunciado pede que se prove, usando indução, que a desigualdade
2^{n} > n^{2}
vale para todo inteiro n \ge 5.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A desigualdade a ser demonstrada é \,2^{n} > n^{2}\,.
  • O universo de validade pedido é todo inteiro n tal que n \ge 5.
  • A prova deve ser feita por indução matemática (princípio da indução).

Passo 2

Explicação rápida do método (sem complicar): a indução tem duas etapas principais.
  • Base: verificar que a desigualdade é verdadeira para o primeiro valor n=5.
  • Passo indutivo: assumir que a desigualdade é verdadeira para um certo k\ge 5 (hipótese indutiva) e, a partir disso, provar que ela vale para k+1.
    Agora vamos fazer a base.
Verificação da base ( n=5):
2^{5}=32\quad\text{e}\quad 5^{2}=25,
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2^{5}=32>25=5^{2}.
Portanto a base n=5 é verdadeira. Ótimo — começamos bem!

Passo 3

Formulando a hipótese indutiva: suponha que para algum inteiro fixo k com k\ge 5 valha
2^{k} > k^{2}.
Isso significa que estamos assumindo a desigualdade verdadeira em k e queremos deduzir que ela também é verdadeira em k+1. Essa é a peça que vai permitir “subir” do caso k para o caso k+1.

Passo 4

A partir da hipótese indutiva calculamos 2^{k+1} em função de 2^{k}:
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}.
Usando a hipótese 2^{k}>k^{2} obtemos
2^{k+1}=2\cdot 2^{k} > 2\cdot k^{2}.
Então já sabemos que 2^{k+1} é maior que 2k^{2}. Para concluir o passo indutivo precisamos comparar 2k^{2} com (k+1)^{2}.

Passo 5

Comparamos 2k^{2} e (k+1)^{2} por meio da diferença:
2k^{2}-(k+1)^{2}=2k^{2}-(k^{2}+2k+1)=k^{2}-2k-1.
Reescrevendo um pouco:
k^{2}-2k-1=(k-1)^{2}-2.
Agora, como k\ge 5 temos k-1\ge 4, então
(k-1)^{2}-2 \ge 4^{2}-2 =16-2=14>0.
Portanto k^{2}-2k-1>0, isto é,
2k^{2}-(k+1)^{2}>0\quad\Rightarrow\quad 2k^{2}>(k+1)^{2}.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores:
2^{k+1} > 2k^{2} \quad\text{e}\quad 2k^{2} > (k+1)^{2}.
Pela transitividade da desigualdade segue
2^{k+1} > (k+1)^{2}.
Assim o passo indutivo está demonstrado: a partir da hipótese 2^{k}>k^{2} (com k\ge 5) segue 2^{k+1}>(k+1)^{2}. Como a base n=5 já foi verificada, o princípio da indução completa a prova.

Resposta

A desigualdade 2^{n}>n^{2} é verdadeira para todo inteiro n\ge 5.

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