Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(b)
, para todo inteiro
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede que se prove, usando indução, que a desigualdade
vale para todo inteiro
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A desigualdade a ser demonstrada é
. - O universo de validade pedido é todo inteiro
tal que . - A prova deve ser feita por indução matemática (princípio da indução).
Passo 2
Explicação rápida do método (sem complicar): a indução tem duas etapas principais.
- Base: verificar que a desigualdade é verdadeira para o primeiro valor
. - Passo indutivo: assumir que a desigualdade é verdadeira para um certo
(hipótese indutiva) e, a partir disso, provar que ela vale para .
Agora vamos fazer a base.
Verificação da base (
):
logo
Portanto a base
é verdadeira. Ótimo — começamos bem!
Passo 3
Formulando a hipótese indutiva: suponha que para algum inteiro fixo
com
valha
Isso significa que estamos assumindo a desigualdade verdadeira em
e queremos deduzir que ela também é verdadeira em
. Essa é a peça que vai permitir “subir” do caso
para o caso
.
Passo 4
A partir da hipótese indutiva calculamos
em função de
:
Usando a hipótese
obtemos
Então já sabemos que
é maior que
. Para concluir o passo indutivo precisamos comparar
com
.
Passo 5
Comparamos
e
por meio da diferença:
Reescrevendo um pouco:
Agora, como
temos
, então
Portanto
, isto é,
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores:
Pela transitividade da desigualdade segue
Assim o passo indutivo está demonstrado: a partir da hipótese
(com
) segue
. Como a base
já foi verificada, o princípio da indução completa a prova.
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.