Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(c)
, para todo inteiro
.
(c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se provar, usando indução, que
para todo inteiro . - Informação explícita: a desigualdade deve valer para todos os inteiros
maiores ou iguais a .
Passo 2
Breve explicação do método de indução que vamos usar (passo a passo):
- Para provar uma afirmação
por indução nas inteiros com ponto inicial faz-se: - Base da indução: verificar
(a afirmação é verdadeira para ). - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para algum (hipótese de indução) e então provar .
- Base da indução: verificar
- Aqui
é a afirmação “ ” e . Vou aplicar exatamente essas duas etapas.
Passo 3
Base da indução (
):
- Calcular
e : - Como
, temos . Portanto a base da indução está correta.
Passo 4
Hipótese de indução:
- Suponha que para algum inteiro
valha a hipótese de indução: - A partir disso queremos deduzir que também vale
Passo 5
Relacionando
com
usando a hipótese:
- Observe que
- Pelo que assumimos (
) segue - Portanto basta mostrar que
para concluir .
Passo 6
Comparação direta entre
e
para
:
- Expanda
: - Vamos escrever cada termo extra como múltiplo de
. Para vale: porque . porque quando . porque quando .
Passo 7
Somando as desigualdades do passo anterior:
- Usando as estimativas obtemos
- Calcule a soma dos coeficientes:
- Assim
- Como
, concluímos que para
Passo 8
Fechando o passo indutivo:
- Do passo 5 temos
. - Do passo 7 temos
. - Combinando as duas desigualdades obtemos
- Assim, assumindo
para algum , demonstramos . Isso completa o passo indutivo.
Passo 9
Conclusão por indução:
- Pela base (
) e pelo passo indutivo, pela propriedade de indução matemática segue que para todo inteiro .
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.