Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(c) 2^{n}>n^{3}, para todo inteiro n \geq 10.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se provar, usando indução, que \,2^{n}>n^{3}\, para todo inteiro n\ge 10.
  • Informação explícita: a desigualdade deve valer para todos os inteiros n maiores ou iguais a 10.

Passo 2

Breve explicação do método de indução que vamos usar (passo a passo):
  • Para provar uma afirmação P(n) por indução nas inteiros com ponto inicial n_0 faz-se:
    1. Base da indução: verificar P(n_0) (a afirmação é verdadeira para n=n_0).
    2. Passo indutivo: assumir que P(k) é verdadeira para algum k\ge n_0 (hipótese de indução) e então provar P(k+1).
  • Aqui P(n) é a afirmação “ \,2^{n}>n^{3}\,” e n_0=10. Vou aplicar exatamente essas duas etapas.

Passo 3

Base da indução ( n=10):
  • Calcular \,2^{10}\, e 10^{3}: 2^{10}=1024, \qquad 10^{3}=1000.
  • Como 1024>1000, temos \,2^{10}>10^{3}\,. Portanto a base da indução está correta.

Passo 4

Hipótese de indução:
  • Suponha que para algum inteiro k\ge 10 valha a hipótese de indução: 2^{k}>k^{3}.
  • A partir disso queremos deduzir que também vale 2^{k+1}>(k+1)^{3}.

Passo 5

Relacionando 2^{k+1} com 2^{k} usando a hipótese:
  • Observe que 2^{k+1}=2\cdot 2^{k}.
  • Pelo que assumimos ( 2^{k}>k^{3}) segue 2^{k+1}=2\cdot 2^{k}>2\cdot k^{3}.
  • Portanto basta mostrar que 2\cdot k^{3}>(k+1)^{3}para concluir 2^{k+1}>(k+1)^{3}.

Passo 6

Comparação direta entre (k+1)^{3} e k^{3} para k\ge 10:
  • Expanda (k+1)^{3}: (k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1.
  • Vamos escrever cada termo extra como múltiplo de k^{3}. Para k\ge 10 vale: 3k^{2}=\frac{3}{k}\,k^{3}\le \frac{3}{10}\,k^{3},porque \dfrac{1}{k}\le \dfrac{1}{10}. 3k=\frac{3}{k^{2}}\,k^{3}\le \frac{3}{100}\,k^{3},porque \dfrac{1}{k^{2}}\le \dfrac{1}{100} quando k\ge 10. 1=\frac{1}{k^{3}}\,k^{3}\le \frac{1}{1000}\,k^{3},porque \dfrac{1}{k^{3}}\le \dfrac{1}{1000} quando k\ge 10.

Passo 7

Somando as desigualdades do passo anterior:
  • Usando as estimativas obtemos (k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1 \le \bigg(1+\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{1}{1000}\bigg)k^{3}.
  • Calcule a soma dos coeficientes: 1+\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{1}{1000}=1,331.
  • Assim (k+1)^{3}\le 1,331\,k^{3}.
  • Como 1,331<2, concluímos que para k\ge 10 (k+1)^{3}<2\,k^{3}.

Passo 8

Fechando o passo indutivo:
  • Do passo 5 temos 2^{k+1}>2\,k^{3}.
  • Do passo 7 temos 2\,k^{3}>(k+1)^{3}.
  • Combinando as duas desigualdades obtemos 2^{k+1}>(k+1)^{3}.
  • Assim, assumindo 2^{k}>k^{3} para algum k\ge 10, demonstramos 2^{k+1}>(k+1)^{3}. Isso completa o passo indutivo.

Passo 9

Conclusão por indução:
  • Pela base ( n=10) e pelo passo indutivo, pela propriedade de indução matemática segue que 2^{n}>n^{3}para todo inteiro n\ge 10.

Resposta

A desigualdade \,2^{n}>n^{3}\, é verdadeira para todo inteiro n\ge 10.

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