Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(e) n!>n^{2}, para todo inteiro n \geq 4.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a desigualdade para demonstrar: \;n!>n^{2}.\n
  • A condição sobre n é: n é inteiro e \;n\ge4.\n
  • O que se pede: provar que a desigualdade vale para todo inteiro \;n\ge4.\n
    Observação de informação útil que vem do enunciado: a definição de fatorial é a usada normalmente, ou seja \;n!=1\cdot2\cdot3\cdots n para inteiro n\ge1.

Passo 2

Ideia do método (indução matemática) — explicação didática:
  • A indução funciona em duas etapas: (i) verificar um caso base (mostrar que a afirmação é verdadeira para o menor valor permitido de n); (ii) mostrar que, se a afirmação vale para um certo k (hipótese de indução), então também vale para k+1 (passo indutivo).
  • Se as duas etapas são feitas corretamente, conclude-se que a afirmação vale para todos os inteiros a partir do caso base. É como uma fileira de dominós: se o primeiro cai (caso base) e cada um derruba o próximo (passo indutivo), todos caem.

Passo 3

Caso base — verificar \;n=4:
  • Calcular \;4! e \;4^{2}:
4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24.
4^{2} = 16.
  • Concluir: \;4! = 24 > 16 = 4^{2}. Portanto a desigualdade é verdadeira para \;n=4.

Passo 4

Enunciando a hipótese de indução:
  • Suponha que para algum inteiro arbitrário \;k\ge4 valha a afirmação:
k! > k^{2}.
Esta é a hipótese de indução. Agora vamos usá-la para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo — partir de (k+1)! e usar a hipótese:
  • Escrevemos (k+1)! em termos de k!:
(k+1)! = (k+1)\,k!.
  • Aplicando a hipótese de indução k!>k^{2} (multiplicando ambos os lados por k+1>0) obtemos:
(k+1)! = (k+1)\,k! > (k+1)\,k^{2}.
Então basta comparar (k+1)\,k^{2} com (k+1)^{2}.

Passo 6

Comparar (k+1)\,k^{2} com (k+1)^{2} — mostrar que (k+1)\,k^{2} \ge (k+1)^{2} (na verdade será estritamente maior):
  • Dividindo por (k+1)>0 (segurança: para k\ge4 isso é positivo) a desigualdade desejada (k+1)k^{2} > (k+1)^{2} é equivalente a
k^{2} > k+1.
  • Vamos ver que k^{2} > k+1 para todo k\ge4. Uma maneira direta:
k^{2} - (k+1) = k^{2}-k-1 = k(k-1)-1.
Para k\ge4 temos k(k-1)\ge4\cdot3=12, então
k(k-1)-1 \ge 12-1 = 11 > 0.
Logo k^{2}-(k+1)>0, ou seja k^{2} > k+1 para todo k\ge4.
  • Assim (k+1)k^{2} > (k+1)^{2}.

Passo 7

Concluir o passo indutivo:
  • A partir de

Passo 8

(k+1)! > (k+1)k^{2} > (k+1)^{2}.
  • Portanto (k+1)! > (k+1)^{2}. Assim mostramos que se a desigualdade vale para k então vale para k+1.

Passo 9

Conclusão final pelo princípio da indução:
  • Verificamos o caso base n=4 e provamos o passo indutivo k\Rightarrow k+1 para k\ge4. Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
n! > n^{2}
é verdadeira para todo inteiro \;n\ge4.

Resposta

\forall n\in\mathbb{Z},\; n\ge4:\; n!>n^{2}

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