Demonstre, usando indução, que as desigualdades a seguir são verdadeiras:
(e)
, para todo inteiro
.
(e)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a desigualdade para demonstrar:
.\n - A condição sobre
é: é inteiro e .\n - O que se pede: provar que a desigualdade vale para todo inteiro
.\n
Observação de informação útil que vem do enunciado: a definição de fatorial é a usada normalmente, ou sejapara inteiro .
Passo 2
Ideia do método (indução matemática) — explicação didática:
- A indução funciona em duas etapas: (i) verificar um caso base (mostrar que a afirmação é verdadeira para o menor valor permitido de
); (ii) mostrar que, se a afirmação vale para um certo (hipótese de indução), então também vale para (passo indutivo). - Se as duas etapas são feitas corretamente, conclude-se que a afirmação vale para todos os inteiros a partir do caso base. É como uma fileira de dominós: se o primeiro cai (caso base) e cada um derruba o próximo (passo indutivo), todos caem.
Passo 3
Caso base — verificar
:
- Calcular
e :
- Concluir:
. Portanto a desigualdade é verdadeira para .
Passo 4
Enunciando a hipótese de indução:
- Suponha que para algum inteiro arbitrário
valha a afirmação:
Esta é a hipótese de indução. Agora vamos usá-la para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo — partir de
e usar a hipótese:
- Escrevemos
em termos de :
- Aplicando a hipótese de indução
(multiplicando ambos os lados por ) obtemos:
Então basta comparar
com
.
Passo 6
Comparar
com
— mostrar que
(na verdade será estritamente maior):
- Dividindo por
(segurança: para isso é positivo) a desigualdade desejada é equivalente a
- Vamos ver que
para todo . Uma maneira direta:
Para
temos
, então
Logo
, ou seja
para todo
.
- Assim
.
Passo 7
Concluir o passo indutivo:
- A partir de
Passo 8
- Portanto
. Assim mostramos que se a desigualdade vale para então vale para .
Passo 9
Conclusão final pelo princípio da indução:
- Verificamos o caso base
e provamos o passo indutivo para . Pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
.