Demonstre usando indução: para todo n >= 1, (1 + 1 / 1)(1 + 1 / 2) ... (1 + 1 / n) <= n + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a multiplicação é menor ou igual a . Vamos usar a técnica de indução matemática, que é uma maneira de provar afirmações para todos os números naturais começando de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, ou seja, quando .
Calculando :
E .
Então, , o que confirma que a afirmação é válida para .

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural , ou seja, vamos assumir a hipótese de indução:
Essa suposição nos ajudará a provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos provar que se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Calculando :
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então:
Ou seja:
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para , então também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, demonstramos que para todo , a expressão é de fato menor ou igual a .

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