Prove usando indução que todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2 .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. O enunciado diz:
"Prove usando indução que todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2."
Isso significa que queremos mostrar que qualquer número natural maior ou igual a 1 pode ser escrito como a soma de potências de 2, onde cada potência é diferente das outras (ou seja, cada potência de 2 é usada no máximo uma vez). Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que envolvem números naturais.

Passo 2

Base da Indução
Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor número natural não-nulo, que é 1.
Queremos mostrar que:
Aqui, , então a afirmação é verdadeira para . Isso estabelece nossa base da indução.

Passo 3

Hipótese de Indução
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
onde são inteiros não negativos distintos.

Passo 4

Passo de Indução
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Consideremos duas situações:
  1. não é uma potência de 2:
    Se não é uma potência de 2, então podemos encontrar pelo menos duas potências de 2 que somadas dão . Pela hipótese de indução, pode ser escrito como uma soma de potências de 2 distintas, então adicionando , obtém-se .
  2. é uma potência de 2:
    Se para algum inteiro não negativo , então isso já está na forma desejada, que é uma soma de apenas uma potência de 2.
Em ambos os casos, pode ser expresso como soma de potências de 2 distintas.

Resposta

Portanto, por indução matemática, todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2.

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