Prove usando indução que todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2 .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. O enunciado diz:
"Prove usando indução que todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2."
Isso significa que queremos mostrar que qualquer número natural maior ou igual a 1 pode ser escrito como a soma de potências de 2, onde cada potência é diferente das outras (ou seja, cada potência de 2 é usada no máximo uma vez). Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que envolvem números naturais.
Passo 2
Base da Indução
Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor número natural não-nulo, que é 1.
Queremos mostrar que:
Aqui,
, então a afirmação é verdadeira para
. Isso estabelece nossa base da indução.
Passo 3
Hipótese de Indução
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
onde
são inteiros não negativos distintos.
Passo 4
Passo de Indução
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Consideremos duas situações:
-
não é uma potência de 2: Senão é uma potência de 2, então podemos encontrar pelo menos duas potências de 2 que somadas dão . Pela hipótese de indução, pode ser escrito como uma soma de potências de 2 distintas, então adicionando , obtém-se . -
é uma potência de 2: Separa algum inteiro não negativo , então isso já está na forma desejada, que é uma soma de apenas uma potência de 2.
Em ambos os casos,
pode ser expresso como soma de potências de 2 distintas.
Resposta
Portanto, por indução matemática, todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2.