Demonstre que, se
e
são vetores quaisquer, então:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente mostrar que, se
e
são vetores quaisquer, então a norma do vetor
ao quadrado é igual à soma das normas de
e
ao quadrado mais duas vezes o produto interno de
e
. Esse assunto faz parte do estudo de álgebra vetorial, especificamente sobre normas e produtos internos. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno e da norma dos vetores.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a norma de um vetor
é definida como
, onde
é o produto interno de
consigo mesmo. Então, para encontrar
, vamos calcular o produto interno de
com ele mesmo.
Passo 3
Vamos calcular
. Expandindo esse produto interno, temos:
Passo 4
Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja,
. Portanto, podemos simplificar a expressão para:
Passo 5
Agora, lembrando que
e
, podemos substituir essas partes na expressão:
Resposta
Pronto! Demonstramos que: