Demonstre que, se v e w são vetores quaisquer, então:
(a) |u+v|^2=|u|^2+2+|v|^2

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente mostrar que, se e são vetores quaisquer, então a norma do vetor ao quadrado é igual à soma das normas de e ao quadrado mais duas vezes o produto interno de e . Esse assunto faz parte do estudo de álgebra vetorial, especificamente sobre normas e produtos internos. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno e da norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a norma de um vetor é definida como , onde é o produto interno de consigo mesmo. Então, para encontrar , vamos calcular o produto interno de com ele mesmo.

Passo 3

Vamos calcular lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<= . Expandindo esse produto interno, temos:

Passo 4

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<= . Portanto, podemos simplificar a expressão para:

Passo 5

Agora, lembrando que |u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 e , podemos substituir essas partes na expressão:

Resposta

Pronto! Demonstramos que:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2

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