Suponha que a única solução para A x=0 ( m equações e n incógnitas) é x=0. Qual é o posto de A ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de equações lineares na forma , onde é uma matriz com equações e incógnitas. A informação dada é que a única solução desse sistema é . Nosso objetivo é descobrir qual é o posto da matriz .
Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com sistemas lineares e conceitos de matriz como o posto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o posto de uma matriz e a relação entre as soluções de um sistema linear e o posto da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz , denotado como , é o número máximo de colunas linearmente independentes na matriz. Em outras palavras, é a dimensão do espaço gerado pelas colunas de .

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com a solução do sistema . Se a única solução desse sistema é , isso significa que as colunas de são linearmente independentes. Por que? Porque a única combinação linear das colunas que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.

Passo 4

Como as colunas de são linearmente independentes e há incógnitas (ou seja, colunas), o posto de deve ser igual a . Isso porque não há dependência linear entre as colunas, então todas são necessárias para descrever o espaço gerado pelas colunas.

Resposta

O posto de é .

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