Verdadeiro ou falso? (Se for falso, dê um contraexemplo; se for verdadeiro, justifique.)
a) ( ) Um sistema
, em que
é quadrada, não possui variáveis livres.
a) ( ) Um sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para dizer se é verdadeiro ou falso que um sistema linear
, onde
é uma matriz quadrada, não tem variáveis livres. Estamos lidando com álgebra linear aqui, especificamente com sistemas de equações lineares e o conceito de variáveis livres. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma variável livre e como a forma da matriz influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma variável livre. Em um sistema de equações, uma variável é chamada de livre quando ela não está restrita por uma equação específica, ou seja, pode assumir qualquer valor. Isso geralmente acontece em sistemas que têm infinitas soluções.
Passo 3
Agora, como a matriz
sendo quadrada afeta isso? Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas, o que significa que o número de equações é igual ao número de variáveis.
Passo 4
Se a matriz
for invertível (ou seja, seu determinante não é zero), o sistema terá uma única solução, e não haverá variáveis livres. Isso porque cada variável será determinada de maneira única pelas equações.
Passo 5
Porém, se a matriz
for singular (determinante igual a zero), o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. No caso de infinitas soluções, haverá variáveis livres, já que algumas variáveis podem assumir qualquer valor.
Passo 6
Então, a afirmação de que um sistema
com
quadrada não possui variáveis livres não é sempre verdadeira. Depende se a matriz
é invertível ou não.
Passo 7
Vamos dar um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa. Considere a matriz
como a identidade 2x2 multiplicada por zero:
Nesse caso, o sistema
se torna:
Aqui, ambas as variáveis
e
são livres, já que não há restrições, e podemos escolher qualquer valor para elas.
Resposta
Falso. Por exemplo, se
for a matriz nula $
$ e
, o sistema possui variáveis livres.