Verdadeiro ou falso? (Se for falso, dê um contraexemplo; se for verdadeiro, justifique.)
a) ( ) Um sistema A x=b, em que A é quadrada, não possui variáveis livres.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para dizer se é verdadeiro ou falso que um sistema linear A x = b, onde A é uma matriz quadrada, não tem variáveis livres. Estamos lidando com álgebra linear aqui, especificamente com sistemas de equações lineares e o conceito de variáveis livres. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma variável livre e como a forma da matriz influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma variável livre. Em um sistema de equações, uma variável é chamada de livre quando ela não está restrita por uma equação específica, ou seja, pode assumir qualquer valor. Isso geralmente acontece em sistemas que têm infinitas soluções.

Passo 3

Agora, como a matriz A sendo quadrada afeta isso? Uma matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas, o que significa que o número de equações é igual ao número de variáveis.

Passo 4

Se a matriz A for invertível (ou seja, seu determinante não é zero), o sistema terá uma única solução, e não haverá variáveis livres. Isso porque cada variável será determinada de maneira única pelas equações.

Passo 5

Porém, se a matriz A for singular (determinante igual a zero), o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. No caso de infinitas soluções, haverá variáveis livres, já que algumas variáveis podem assumir qualquer valor.

Passo 6

Então, a afirmação de que um sistema A x = b com A quadrada não possui variáveis livres não é sempre verdadeira. Depende se a matriz A é invertível ou não.

Passo 7

Vamos dar um contraexemplo para mostrar que a afirmação é falsa. Considere a matriz A como a identidade 2x2 multiplicada por zero:
A = 0 & 0 0 & 0 , b = 0 0
Nesse caso, o sistema A x = b se torna:
0x1 + 0x2 = 0 0x1 + 0x2 = 0
Aqui, ambas as variáveis x1 e x2 são livres, já que não há restrições, e podemos escolher qualquer valor para elas.

Resposta

Falso. Por exemplo, se A for a matriz nula $ 0 & 0 0 & 0 $ e b = 0 0 , o sistema possui variáveis livres.

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