Demonstre a validade da propriedade \operatorname{det}(A \cdot B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) para matrizes quadradas de ordem n, utilizando o conceito de transformações lineares e propriedades do determinante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para duas matrizes quadradas A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}, vale
\det(A\,B)=\det(A)\,\det(B).
Vamos usar a interpretação geométrica do determinante como “fator de escala de volume orientado” junto com o fato de que o produto de matrizes corresponde à composição de transformações lineares.

Passo 2

Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^n com a base canônica \{e_1,\dots,e_n\}. A matriz B representa uma transformação linear
B: V \to V,
e A representa outra transformação
A: V \to V.
O produto A\,B representa a composição A\circ B. Por definição geométrica, \det(B)
é o fator pelo qual o volume orientado de um paralelogramo unitário \{e_1,\dots,e_n\} é escalado pela aplicação de B.

Passo 3

Seja P\subset V o paralelogramo gerado por \{e_1,\dots,e_n\}. Então
\Vol(B(P))=\det(B)\,\Vol(P),
onde \Vol(P)=1. Agora aplique A ao conjunto B(P). Como A também escala volumes por \det(A), temos
\Vol\bigl(A\bigl(B(P)\bigr)\bigr) =\det(A)\,\Vol\bigl(B(P)\bigr) =\det(A)\,\bigl[\det(B)\,\Vol(P)\bigr] =\bigl[\det(A)\,\det(B)\bigr]\Vol(P).

Passo 4

Mas A\bigl(B(P)\bigr) é exatamente o paralelogramo obtido ao aplicar A\,B ao conjunto unitário, de onde
\Vol\bigl((A\,B)(P)\bigr)=\det(A\,B)\,\Vol(P).
Comparando os fatores de escala, obtemos
\det(A\,B)=\det(A)\,\det(B).

Resposta

\det(A\,B)=\det(A)\,\det(B).

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