Demonstre a validade da propriedade
para matrizes quadradas de ordem
, utilizando o conceito de transformações lineares e propriedades do determinante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para duas matrizes quadradas
, vale
Vamos usar a interpretação geométrica do determinante como “fator de escala de volume orientado” junto com o fato de que o produto de matrizes corresponde à composição de transformações lineares.
Passo 2
Considere o espaço vetorial
com a base canônica
. A matriz
representa uma transformação linear
e
representa outra transformação
O produto
representa a composição
. Por definição geométrica,
é o fator pelo qual o volume orientado de um paralelogramo unitário é escalado pela aplicação de
.
é o fator pelo qual o volume orientado de um paralelogramo unitário
Passo 3
Seja
o paralelogramo gerado por
. Então
onde
. Agora aplique
ao conjunto
. Como
também escala volumes por
, temos
Passo 4
Mas
é exatamente o paralelogramo obtido ao aplicar
ao conjunto unitário, de onde
Comparando os fatores de escala, obtemos