Explique o conceito de nulidade de uma matriz e sua relação com o espaço solução de um sistema homogêneo. Como a nulidade está relacionada ao número de variáveis livres no sistema? Demonstre com um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para entender o que é a nulidade de uma matriz, como ela se relaciona com o espaço de soluções de um sistema homogêneo A x = 0 e de que forma esse número coincide com o número de variáveis livres no sistema. Vamos usar conceitos de espaço nulo, dimensão e o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Ranke‐Nullidade) para resolver.

Passo 2

Definimos o espaço nulo (ou nulspace) de uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n} como
\mathcal{N}(A) = \{\,x\in\mathbb{R}^n \mid A\,x = 0\}.
A nulidade de A, denotada \nullity(A), é a dimensão de \mathcal{N}(A), ou seja,
\nullity(A) = \dim\bigl(\mathcal{N}(A)\bigr).

Passo 3

Pelo Teorema da Ranke‐Nullidade, vale
\rank(A) + \nullity(A) = n,
onde \rank(A) é o posto de A e n é o número de colunas. Num sistema homogêneo A x = 0 com n incógnitas, a cada coluna de A que não contribui para o posto corresponde uma variável livre. Logo, o número de variáveis livres é exatamente
n - \rank(A) = \nullity(A),
e cada uma dessas variáveis livres gera uma direção independente no espaço de soluções.

Passo 4

Exemplo: seja
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix},
uma matriz 2\times3\). Observamos que a segunda linha é o dobro da primeira, então \(\rank(A)=1\). Assim, \[\nullity(A) = 3 - 1 = 2.
Para resolver A x = 0, escrevemos
\begin{cases} x_{1} \;+\;2x_{2}\;+\;3x_{3} = 0,\\\\ 2x_{1}\;+\;4x_{2}\;+\;6x_{3} = 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x_{1} = -2x_{2} - 3x_{3}.
Chamando x_{2}=s\] e \(x_{3}=t (as variáveis livres), obtemos
x = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Aqui temos duas variáveis livres (s,t), correspondendo a duas direções independentes no espaço nulo, confirmando \nullity(A)=2.

Resposta

A nulidade de uma matriz A é a dimensão do seu espaço nulo \mathcal{N}(A) e, para o sistema homogêneo A x = 0, coincide exatamente com o número de variáveis livres do sistema.

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