Explique o conceito de nulidade de uma matriz e sua relação com o espaço solução de um sistema homogêneo. Como a nulidade está relacionada ao número de variáveis livres no sistema? Demonstre com um exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para entender o que é a nulidade de uma matriz, como ela se relaciona com o espaço de soluções de um sistema homogêneo A x = 0 e de que forma esse número coincide com o número de variáveis livres no sistema. Vamos usar conceitos de espaço nulo, dimensão e o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Ranke‐Nullidade) para resolver.
Passo 2
Definimos o espaço nulo (ou nulspace) de uma matriz A\in\mathbb{R}^{m\times n} como
A nulidade de A, denotada \nullity(A), é a dimensão de \mathcal{N}(A), ou seja,
\nullity(A) = \dim\bigl(\mathcal{N}(A)\bigr).
Passo 3
Pelo Teorema da Ranke‐Nullidade, vale
\rank(A) + \nullity(A) = n,
onde \rank(A) é o posto de A e n é o número de colunas. Num sistema homogêneo A x = 0 com n incógnitas, a cada coluna de A que não contribui para o posto corresponde uma variável livre. Logo, o número de variáveis livres é exatamente
n - \rank(A) = \nullity(A),
e cada uma dessas variáveis livres gera uma direção independente no espaço de soluções.
Aqui temos duas variáveis livres (s,t), correspondendo a duas direções independentes no espaço nulo, confirmando \nullity(A)=2.
Resposta
A nulidade de uma matriz A é a dimensão do seu espaço nulo \mathcal{N}(A) e, para o sistema homogêneo A x = 0, coincide exatamente com o número de variáveis livres do sistema.