Explique o Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, destacando como a escolha da linha ou coluna para a expansão afeta a eficiência do método. Demonstre essa explicação resolvendo um exemplo de uma matriz 4 \times 4 com múltiplos zeros.

Passo 1

O que vamos fazer: explicar o Teorema de Laplace para calcular determinantes de matrizes quadradas, mostrando que o teorema diz como expandir o determinante em cofatores de uma linha ou coluna. Vamos destacar que, para ganhar eficiência, sempre escolhemos a linha ou coluna com mais zeros, pois cada zero elimina um termo na soma. Em seguida, aplicamos tudo num exemplo prático usando uma matriz 4\times4 cheia de zeros.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Laplace: seja A=(a_{ij}) uma matriz n\times n. O determinante de A pode ser escrito, para qualquer linha i, como
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}
onde M_{ij} é o menor de ordem n-1 obtido de A ao eliminar a linha i e a coluna j. Analogamente, podemos expandir ao longo de qualquer coluna j:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}.

Passo 3

Como escolher linha ou coluna para expandir?
Cada termo na soma acima envolve a_{ij}. Se a_{ij}=0, o termo some. Logo, para poupar trabalho, escolhemos a linha ou coluna que contenha o máximo de zeros, reduzindo o número de menores a calcular.

Passo 4

Vamos ilustrar com o exemplo
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 4\\\\ 5 & 0 & 6 & 0\\\\ 0 & 7 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Repare que a segunda linha tem três zeros, sobrando apenas a_{2,4}=4. Portanto, faz todo sentido expandir \det(A) ao longo da linha 2.

Passo 5

Expansão em cofatores pela linha 2:
\det(A) =\sum_{j=1}^{4}(-1)^{2+j}\,a_{2j}\,M_{2j} =(-1)^{2+4}\,a_{2,4}\,M_{2,4} = (+1)\cdot 4\cdot M_{2,4}.
Aqui M_{2,4} é o determinante do menor 3\times3 que sobra ao riscar linha 2 e coluna 4:
M_{2,4} =\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 3\\\\ 5 & 0 & 6\\\\ 0 & 7 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Calcular o menor 3\times3. Usamos a fórmula direta ou expandimos de novo, por exemplo pela segunda coluna (com dois zeros):
M_{2,4} =2\,(0\cdot 0 - 6\cdot 7) -0\,(5\cdot 0 - 6\cdot 0) +3\,(5\cdot7 - 0\cdot0).
Isso dá
M_{2,4} =2\,( -42) +3\,(35) =-84+105=21.
Logo,
\det(A)=4\cdot 21=84.

Passo 7

Observação de eficiência: se tivéssemos escolhido outra linha ou coluna sem tantos zeros, teríamos somas com muitos termos e vários menores de ordem 3 a calcular. Aqui, por ter três zeros na linha 2, só precisamos de um menor de ordem 3 e um único passo de cálculo.

Resposta

O determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 4\\\\ 5 & 0 & 6 & 0\\\\ 0 & 7 & 0 & 0 \end{pmatrix}
é \det(A)=84.

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