Explique o Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, destacando como a escolha da linha ou coluna para a expansão afeta a eficiência do método. Demonstre essa explicação resolvendo um exemplo de uma matriz 4 \times 4 com múltiplos zeros.
Passo 1
O que vamos fazer: explicar o Teorema de Laplace para calcular determinantes de matrizes quadradas, mostrando que o teorema diz como expandir o determinante em cofatores de uma linha ou coluna. Vamos destacar que, para ganhar eficiência, sempre escolhemos a linha ou coluna com mais zeros, pois cada zero elimina um termo na soma. Em seguida, aplicamos tudo num exemplo prático usando uma matriz 4\times4 cheia de zeros.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Laplace: seja A=(a_{ij}) uma matriz n\times n. O determinante de A pode ser escrito, para qualquer linha i, como
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}
onde M_{ij} é o menor de ordem n-1 obtido de A ao eliminar a linha i e a coluna j. Analogamente, podemos expandir ao longo de qualquer coluna j:
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij}.
Passo 3
Como escolher linha ou coluna para expandir?
Cada termo na soma acima envolve a_{ij}. Se a_{ij}=0, o termo some. Logo, para poupar trabalho, escolhemos a linha ou coluna que contenha o máximo de zeros, reduzindo o número de menores a calcular.
Observação de eficiência: se tivéssemos escolhido outra linha ou coluna sem tantos zeros, teríamos somas com muitos termos e vários menores de ordem 3 a calcular. Aqui, por ter três zeros na linha 2, só precisamos de um menor de ordem 3 e um único passo de cálculo.