Explique por que o determinante de uma matriz não quadrada não está definido, relacionando essa limitação com as propriedades geométricas e algébricas do determinante. Além disso, discuta quais ferramentas alternativas podem ser utilizadas para matrizes não quadradas.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos por que não há como definir o determinante de uma matriz não quadrada, olhando tanto para a interpretação geométrica (como fator de escala de volumes) quanto para a interpretação algébrica (como forma multilinear alternante que exige n linhas e n colunas). Em seguida, devemos apontar quais outras ferramentas substituem o determinante quando trabalhamos com matrizes retangulares.

Passo 2

Na perspectiva geométrica, o determinante de uma matriz quadrada A\in\mathbb{R}^{n\times n} mede o fator pelo qual o volume orientado de um paralelogramo (ou paralelotopo) em \mathbb{R}^n é esticado quando aplicado o operador linear associado a A. Se tentássemos fazer isso com uma matriz B\in\mathbb{R}^{m\times n} com m\neq n, a imagem de um “paralelotopo” em \mathbb{R}^n cairia em um subespaço de dimensão menor m<n ou seria um conjunto mais “espalhado” em dimensão maior m>n, e não haveria sentido em falar de um volume n-dimensional bem definido no espaço de chegada.

Passo 3

Do ponto de vista algébrico, o determinante é construído como a única forma multilinear alternante de grau n nas linhas (ou colunas) de uma matriz n\times n. Essa forma satisfaz propriedades como
\det(I_n)=1,\quad \det(AB)=\det(A)\det(B),\quad \det(A^\mathsf{T})=\det(A),
essas mesmas exigências não podem ser formuladas para matrizes que não tenham o mesmo número de linhas e colunas. Além disso, apenas matrizes quadradas correspondem a endomorfismos (operações de um espaço linear em si mesmo), e o determinante é uma característica intrínseca de endomorfismos.

Passo 4

Em resumo, a “falta de quadratura” impede que se defina um volume n-dimensional preservado ou um sinal de orientação coerente, e também impede a formulação de uma forma multilinear alternante com todas as propriedades do determinante. Por isso, matematicamente, o determinante de uma matriz não quadrada é simplesmente indefinido.

Passo 5

Para matrizes não quadradas existem várias ferramentas úteis:
  1. O posto \rank, que diz a dimensão máxima de subparalelotopos injetivamente mapeados.
  2. Os menores de ordem máxima, usados para caracterizar o posto ou construir aproximações.
  3. A pseudo-determinante, definida como o produto das singular values não nulas, captura volume em subespaços de dimensão igual ao posto.
  4. A decomposição em valores singulares (SVD), que expressa B=U\Sigma V^\mathsf{T} e permite entender estiramentos e contrações mesmo quando B não é quadrada.
  5. A inversa de Moore–Penrose B^+, que resolve sistemas e otimiza soluções por mínimos quadrados ao lidar com retangulares.

Resposta

O determinante só existe para matrizes quadradas porque ele descreve como um operador linear em \mathbb{R}^n altera volumes orientados nesse mesmo \mathbb{R}^n e é construído como forma multilinear alternante de grau n. Matriz retangular não tem representação como endomorfismo nem preserva um volume n-dimensional bem definido, logo não cabe determinante. Em lugar dele, usamos posto, menores, pseudo-determinante, SVD e inversa de Moore–Penrose para analisar aspectos de invertibilidade, escala de subespaços e solução de sistemas correspondentes.

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