Explique por que o determinante de uma matriz não quadrada não está definido, relacionando essa limitação com as propriedades geométricas e algébricas do determinante. Além disso, discuta quais ferramentas alternativas podem ser utilizadas para matrizes não quadradas.
Passo 1
O enunciado pede para entendermos por que não há como definir o determinante de uma matriz não quadrada, olhando tanto para a interpretação geométrica (como fator de escala de volumes) quanto para a interpretação algébrica (como forma multilinear alternante que exige
linhas e
colunas). Em seguida, devemos apontar quais outras ferramentas substituem o determinante quando trabalhamos com matrizes retangulares.
Passo 2
Na perspectiva geométrica, o determinante de uma matriz quadrada
mede o fator pelo qual o volume orientado de um paralelogramo (ou paralelotopo) em
é esticado quando aplicado o operador linear associado a
. Se tentássemos fazer isso com uma matriz
com
, a imagem de um “paralelotopo” em
cairia em um subespaço de dimensão menor
ou seria um conjunto mais “espalhado” em dimensão maior
, e não haveria sentido em falar de um volume
-dimensional bem definido no espaço de chegada.
Passo 3
Do ponto de vista algébrico, o determinante é construído como a única forma multilinear alternante de grau
nas linhas (ou colunas) de uma matriz
. Essa forma satisfaz propriedades como
essas mesmas exigências não podem ser formuladas para matrizes que não tenham o mesmo número de linhas e colunas. Além disso, apenas matrizes quadradas correspondem a endomorfismos (operações de um espaço linear em si mesmo), e o determinante é uma característica intrínseca de endomorfismos.
Passo 4
Em resumo, a “falta de quadratura” impede que se defina um volume
-dimensional preservado ou um sinal de orientação coerente, e também impede a formulação de uma forma multilinear alternante com todas as propriedades do determinante. Por isso, matematicamente, o determinante de uma matriz não quadrada é simplesmente indefinido.
Passo 5
Para matrizes não quadradas existem várias ferramentas úteis:
- O posto , que diz a dimensão máxima de subparalelotopos injetivamente mapeados.
- Os menores de ordem máxima, usados para caracterizar o posto ou construir aproximações.
- A pseudo-determinante, definida como o produto das singular values não nulas, captura volume em subespaços de dimensão igual ao posto.
- A decomposição em valores singulares (SVD), que expressa
e permite entender estiramentos e contrações mesmo quando não é quadrada. - A inversa de Moore–Penrose
, que resolve sistemas e otimiza soluções por mínimos quadrados ao lidar com retangulares.
Resposta
O determinante só existe para matrizes quadradas porque ele descreve como um operador linear em
altera volumes orientados nesse mesmo
e é construído como forma multilinear alternante de grau
. Matriz retangular não tem representação como endomorfismo nem preserva um volume
-dimensional bem definido, logo não cabe determinante. Em lugar dele, usamos posto, menores, pseudo-determinante, SVD e inversa de Moore–Penrose para analisar aspectos de invertibilidade, escala de subespaços e solução de sistemas correspondentes.