Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
(b) F(x, y) = (4 e^(2 x) - 3 e^(x) e^(y)) i + (2 e^(2 y) - 3 e^(x) e^(y)) j, C é a parábola y^2 = 4 x, partindo desde o vértice da parábola ponto 1,2.
Sol. φ = 2 e^x - 3 e^(x y) + e^(2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para mostrar que a integral de linha da força é independente do caminho que a gente escolhe, ou seja, dá o mesmo valor independente da trajetória. Para provar isso, a gente precisa encontrar uma função potencial tal que . Se conseguirmos fazer isso, já sabemos que a integral não depende do caminho. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Se existe uma função tal que:
Então é a função potencial de . Nosso objetivo é encontrar essa .

Passo 3

Vamos comparar os componentes de com as derivadas parciais de .
Temos que:
Agora, vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 4

Integrando em relação a :
Vamos fazer cada termo separadamente:
Então, até agora:
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao integrar em relação a , a constante de integração pode ser uma função de .

Passo 5

Agora, vamos usar a outra equação para encontrar . Sabemos que:
Vamos derivar que encontramos com relação a :
Comparando com a expressão dada:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar para encontrar :
Onde é uma constante de integração. Podemos ignorar aqui, já que estamos procurando uma função potencial qualquer.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A função potencial é:

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