Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
(b)
,
é a parábola
, partindo desde o vértice da parábola ponto
.
Sol.
(b)
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para mostrar que a integral de linha da força
é independente do caminho que a gente escolhe, ou seja, dá o mesmo valor independente da trajetória. Para provar isso, a gente precisa encontrar uma função potencial
tal que
. Se conseguirmos fazer isso, já sabemos que a integral não depende do caminho. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Se existe uma função
tal que:
Então
é a função potencial de
. Nosso objetivo é encontrar essa
.
Passo 3
Vamos comparar os componentes de
com as derivadas parciais de
.
Temos que:
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Vamos fazer cada termo separadamente:
Então, até agora:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a outra equação para encontrar
. Sabemos que:
Vamos derivar
que encontramos com relação a
:
Comparando com a expressão dada:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é uma constante de integração. Podemos ignorar
aqui, já que estamos procurando uma função potencial qualquer.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
A função potencial é: