Seja e . Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que é formado ao girar um conjunto de pontos em torno do eixo . O conjunto é definido pelas condições , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos discos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . As inequações e indicam que estamos no primeiro quadrante. A inequação define uma linha reta que intercepta os eixos e .
Vamos encontrar os pontos de interseção:
Quando :
Quando :
Então, a região é um triângulo com vértices em , e .
Passo 3
Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método envolve cortar o sólido em fatias circulares perpendicular ao eixo de rotação (no caso, o eixo ) e somar os volumes desses discos.
A fórmula para o volume usando os discos é:
Onde é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração.
Passo 4
Vamos determinar . A equação da linha que define a fronteira de é . Resolvendo para :
Esse será o raio do disco para cada .
Passo 5
Os limites de integração são de até , já que a região vai de até .