Seja A = {(x, y) ∈ R² | y ≥ 0, x ≥ 0} e 4 x + y <= 4. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que é formado ao girar um conjunto de pontos em torno do eixo . O conjunto é definido pelas condições , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos discos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As inequações e indicam que estamos no primeiro quadrante. A inequação define uma linha reta que intercepta os eixos e .
Vamos encontrar os pontos de interseção:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. Esse método envolve cortar o sólido em fatias circulares perpendicular ao eixo de rotação (no caso, o eixo ) e somar os volumes desses discos.
A fórmula para o volume usando os discos é:
Onde é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração.

Passo 4

Vamos determinar . A equação da linha que define a fronteira de é . Resolvendo para :
Esse será o raio do disco para cada .

Passo 5

Os limites de integração são de até , já que a região vai de até .
Então, substituindo na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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