Seja
e
. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
.
Passo 1
Esse exercício pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região
em torno do eixo
. A região
é definida por
,
e
. Vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As condições
e
indicam que estamos no primeiro quadrante do plano cartesiano. A inequação
pode ser reescrita como
. Isso representa uma linha reta que intercepta o eixo
em
e o eixo
em
. Portanto, a região
é um triângulo no primeiro quadrante limitado por essas inequações.
Passo 3
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos circulares infinitesimais perpendicularmente ao eixo de rotação e integrar a área desses discos ao longo do eixo.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
onde
é a função que define a borda da região a ser rotacionada, e
e
são os limites de integração ao longo do eixo
.
Passo 5
No nosso caso, a função que define a borda superior da região
é
. Portanto,
. Os limites de integração são de
a
, já que a linha corta o eixo
em
.
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Passo 7
Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Substituindo os limites de integração:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.