Seja A = {(x, y) ∈ R² | y ≥ 0, x ≥ 0} e 4 x + y <= 4. Determine: O volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A.

Passo 1

Esse exercício pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região A em torno do eixo x. A região A é definida por y ≥ 0, x >= 0 e . Vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região A. As condições x >= 0 e y ≥ 0 indicam que estamos no primeiro quadrante do plano cartesiano. A inequação pode ser reescrita como . Isso representa uma linha reta que intercepta o eixo y em (0,4) e o eixo x em 1,0. Portanto, a região A é um triângulo no primeiro quadrante limitado por essas inequações.

Passo 3

Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de A em torno do eixo x, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos circulares infinitesimais perpendicularmente ao eixo de rotação e integrar a área desses discos ao longo do eixo.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
onde f(x) é a função que define a borda da região a ser rotacionada, e a e b são os limites de integração ao longo do eixo x.

Passo 5

No nosso caso, a função que define a borda superior da região A é . Portanto, . Os limites de integração são de x = 0 a x = 1, já que a linha corta o eixo x em x = 1.

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume, temos:

Passo 7

Vamos expandir o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Substituindo os limites de integração:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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