Demonstre que se x=(x1, x2)^T, y=(y1, y2)^T e z= (z1, z2)^T são vetores arbitrários em R^2, então
x^T(y+z)=x^T y+x^T z

Passo 1

Resumo: A questão pede para demonstrar a propriedade distributiva do produto escalar (via transposta) em R^2, isto é, mostrar que x^T(y+z) = x^Ty + x^Tz. Vamos usar definições de adição de vetores e de produto x^Tw em coordenadas.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a soma dos vetores y e z em R^2 e aplicar a definição de x^T(cdot).
A adição é coordenada a coordenada, então:
y + z = y1 y2 + z1 z2 = y1 + z1 y2 + z2
Pela definição de transposta multiplicada por vetor:
x^T(y + z) = x1 & x2 y1 + z1 y2 + z2 = x1(y1 + z1) + x2(y2 + z2)

Passo 3

Agora usamos a distributividade dos números reais para expandir e, em seguida, reconhecer os produtos escalares individuais:
x1(y1 + z1) + x2(y2 + z2) = (x1y1 + x2y2) + (x1z1 + x2z2)
Como (x1y1 + x2y2) = x^Ty e (x1z1 + x2z2) = x^Tz, concluímos a igualdade desejada.

Resposta

x^T(y+z) = x^Ty + x^Tz.

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