Demonstre que se
e
são vetores arbitrários em
, então
Passo 1
Resumo: A questão pede para demonstrar a propriedade distributiva do produto escalar (via transposta) em
, isto é, mostrar que
. Vamos usar definições de adição de vetores e de produto
em coordenadas.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a soma dos vetores
e
em
e aplicar a definição de
.
A adição é coordenada a coordenada, então:
Pela definição de transposta multiplicada por vetor:
Passo 3
Agora usamos a distributividade dos números reais para expandir e, em seguida, reconhecer os produtos escalares individuais:
Como
e
, concluímos a igualdade desejada.