Responda todas as questōes com o máximo de clareza possivel apresente os cálculos.
Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado pelo tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 4 x+2 y+2 z=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é um tetraedro, limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano 4x + 2y + 2z = 16. Vamos usar integrais triplas para encontrar esse volume. Para isso, precisamos entender como configurar os limites de integração nesses três eixos e aplicar a fórmula da integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um poliedro com quatro faces, todas triangulares. No nosso caso, ele é formado pelos três planos coordenados e pelo plano dado pela equação 4x + 2y + 2z = 16.

Passo 3

Para usar uma integral tripla, precisamos definir os limites de integração para x, y e z. Vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, para z:
4x + 2y + 2z = 16 Rightarrow 2z = 16 - 4x - 2y Rightarrow z = 8 - 2x - y
Então, para cada (x, y), o valor de z varia de 0 até 8 - 2x - y.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para y. Quando z = 0 no plano z = 8 - 2x - y:
0 = 8 - 2x - y Rightarrow y = 8 - 2x
Então, para cada x, y varia de 0 até 8 - 2x.

Passo 5

Por último, determinamos os limites para x. Observando que y também deve ser não negativo:
8 - 2x >= 0 Rightarrow x <= 4
Então, x varia de 0 até 4.

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
V = integral0^4 integral0^8 - 2x integral0^8 - 2x - y dz , dy , dx
Primeiro, vamos integrar em relação a z.

Passo 7

Integrando em relação a z:
integral0^8 - 2x - y dz = [ z ]0^8 - 2x - y = 8 - 2x - y
Então, a integral fica:
V = integral0^4 integral0^8 - 2x (8 - 2x - y) , dy , dx

Passo 8

Agora, integramos em relação a y:
integral0^8 - 2x (8 - 2x - y) , dy = [ (8 - 2x)y - y^22 ]0^8 - 2x
Substituindo os valores:
(8 - 2x)(8 - 2x) - (8 - 2x)^22 = (8 - 2x)^2 - (8 - 2x)^22 = (8 - 2x)^22
Então, a integral agora é:
V = integral0^4 (8 - 2x)^22 , dx

Passo 9

Vamos simplificar e expandir o termo (8 - 2x)^2:
(8 - 2x)^2 = 64 - 32x + 4x^2
Então,
V = integral0^4 64 - 32x + 4x^22 , dx = integral0^4 32 - 16x + 2x^2 , dx

Passo 10

Agora, integramos termo a termo em relação a x:
integral0^4 32 , dx = 32x |0^4 = 128
integral0^4 -16x , dx = -8x^2 |0^4 = -128
integral0^4 2x^2 , dx = 2x^33 |0^4 = 1283

Passo 11

Somando todas as integrais:
V = 128 - 128 + 1283 = 1283

Resposta

O volume do tetraedro é 1283 unidades cúbicas.

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