Responda todas as questōes com o máximo de clareza possivel apresente os cálculos.
Use integral tripla para determinar o volume do sólido dado pelo tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é um tetraedro, limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano . Vamos usar integrais triplas para encontrar esse volume. Para isso, precisamos entender como configurar os limites de integração nesses três eixos e aplicar a fórmula da integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tetraedro. Um tetraedro é um poliedro com quatro faces, todas triangulares. No nosso caso, ele é formado pelos três planos coordenados e pelo plano dado pela equação .
Passo 3
Para usar uma integral tripla, precisamos definir os limites de integração para x, y e z. Vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis, por exemplo, para z:
Então, para cada (x, y), o valor de z varia de 0 até .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para y. Quando z = 0 no plano :
Então, para cada x, y varia de 0 até .
Passo 5
Por último, determinamos os limites para x. Observando que y também deve ser não negativo:
Então, x varia de 0 até 4.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume: