Demonstre que se x=(x1, x2)^T, y=(y1, y2)^T e z= (z1, z2)^T são vetores arbitrários em R^2, então
x^T x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para qualquer vetor x=(x1,x2)^T em R^2 vale x^Tx>=0. O conteúdo aqui é o produto interno em R^2 e a propriedade de positividade (quadrado de real é não-negativo). Vamos usar a definição de produto interno e o fato de que a^2>=0 para todo ainR.

Passo 2

Em R^2, o produto interno de x consigo mesmo é dado por
x^Tx=x1 & x2x1x2=x1^2+x2^2

Passo 3

Como para todo número real a vale a^2>=0, temos x1^2>=0 e x2^2>=0. A soma de quantidades não-negativas também é não-negativa, logo
x1^2+x2^2>=0

Passo 4

Portanto, concluímos que x^Tx>=0 para todo xinR^2, como era para demonstrar.

Resposta

x^Tx=x1^2+x2^2>=0

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