Encontre a distância do ponto (2,1,-2) ao plano
6(x-1)+2(y-3)+3(z+4)=0

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto (2,1,−2) ao plano dado por 6(x−1)+2(y−3)+3(z+4)=0. Este exercício envolve o conteúdo de geometria analítica, mais especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano em 3D. Para aplicar essa fórmula, primeiro precisamos escrever o plano na forma geral ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Expandindo o lado esquerdo do plano para alcançar a forma geral:
6(x−1)=6x−6,
2(y−3)=2y−6,
3(z+4)=3z+12.
Somando tudo, obtemos
6x−6 + 2y−6 + 3z+12 = 0
o que simplifica para
6x + 2y + 3z + 0 = 0
Logo, os coeficientes são a=6, b=2, c=3 e d=0.

Passo 3

Agora calculamos o numerador da fórmula da distância, que é o valor absoluto de ax0 + by0 + cz0 + d. Substituindo (x0,y0,z0)=(2,1,−2), temos
|6·2 + 2·1 + 3·(−2) + 0| = |12 + 2 − 6| = |8| = 8 .

Passo 4

Em seguida, calculamos o denominador, que é a norma do vetor normal (a,b,c), ou seja raiza^2 + b^2 + c^2. Assim,
raiz6^2 + 2^2 + 3^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7 .

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula da distância de um ponto a um plano,
distância = l|ax0 + by0 + cz0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2 = 87 â

Resposta

87

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