Considere a hélice circular em A subset E^3 no espaço euclideano tridimensional com equações paramétricas num sistema de coordenadas cartesiano Oxyz dadas por
A:l x=cos (t), y=sen(t), z=t t in R
Forneça as equações paramétricas para a reta tangente à curva A no ponto P=(0,1, pi / 2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma hélice circular em
Oxyz definida por
A(t)=l(cos(t),;sin(t),;tr), tinR,
e pede a reta tangente a essa curva no ponto P=(0,1,pi/2). Vamos usar derivadas de curvas paramétricas para encontrar o vetor diretor da reta tangente.

Passo 2

Para achar o vetor tangente, calculamos a derivada de A(t). Sabendo que
A(t)=(x(t),y(t),z(t))=(cos t,,sin t,,t),
usamos a definição de derivada componente a componente:
A'(t)=l(-sin t,;cos t,;1r)
Esse vetor aponta na direção da reta tangente à curva em cada t.

Passo 3

Em seguida, precisamos do vetor tangente no ponto P. Observamos que P corresponde a t=pi/2, pois
cosl(tfracpi2r)=0,sinl(tfracpi2r)=1, z=tfracpi2
Logo, avaliando
A'l(tfracpi2r)=l(-sin(tfracpi2),;cos(tfracpi2),;1r)=(-1,0,1)
Esse será o vetor diretor da reta tangente.

Passo 4

Finalmente, a equação paramétrica da reta tangente que passa por P e tem vetor diretor (-1,0,1) fica:
ell(s)=P+s,A'l(tfracpi2r)=(0,1,tfracpi2)+s(-1,0,1), sinR
Separando em coordenadas, obtemos as equações paramétricas da reta tangente.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x(s)=-s, y(s)=1, z(s)=tfracpi2+s, sinR

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