1. Demostre convergência do algoritmo iterativo com a função de iteração \varphi(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right). Qual equação resolve este algoritmo?
  2. Dado sistema linear
\begin{aligned} & 4 x-y=3 \\\ & 2 x+y=3 \end{aligned}

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
  • Item 3: temos a função de iteração \varphi(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right). Pede-se demonstrar a convergência do algoritmo iterativo (isto é, da sequência definida por x_{n+1}=\varphi(x_n)) e responder qual equação esse algoritmo resolve.
  • Item 4: resolve o sistema linear
\begin{aligned} &4x-y=3,\\\ &2x+y=3. \end{aligned}
Essas são todas as informações fornecidas; agora vamos passo a passo demonstrar, ensinar o que é necessário e resolver.

Passo 2

O que é o algoritmo iterativo e o que significa convergência aqui:
  • O algoritmo iterativo de ponto fixo gera uma sequência \{x_n\} pela regra
x_{n+1}=\varphi(x_n).
  • O objetivo é encontrar um ponto x^* tal que \varphi(x^*)=x^*. Esse x^* é chamado de ponto fixo de \varphi.
  • “Demonstrar convergência” significa provar que, para qualquer chute inicial (ou para chutes num certo intervalo), a sequência x_n tende a um limite x^* que satisfaz \varphi(x^*)=x^*.
  • A equação que o algoritmo resolve é justamente a equação do ponto fixo
x=\varphi(x).
No nosso caso, a equação será escrita explicitamente mais adiante.

Passo 3

Estratégia para provar convergência (intuição e ferramenta): contração e derivada
  • Uma maneira prática e comum de provar convergência de x_{n+1}=\varphi(x_n) é mostrar que \varphi é uma contração: existe L com 0\le L<1 tal que
|\varphi(x)-\varphi(y)|\le L|x-y|
para todos x,y em um certo intervalo (ou globalmente). Se \varphi é uma contração, o Teorema do Ponto Fixo de Banach garante existência e unicidade do ponto fixo e convergência da iteração para esse ponto fixo, para qualquer chute inicial no intervalo.
  • Uma forma prática de obter esse L é usar a derivada de \varphi: se \varphi é diferenciável e |\varphi'(t)|\le L para todo t no intervalo, então \varphi é Lipschitz com constante L (isto é, a desigualdade acima vale).

Passo 4

Calcular a derivada de \varphi e obter o fator de contração
  • Primeiro calculemos a derivada de \varphi(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right). Usando a regra da cadeia:
\varphi'(x) = -\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Agora observamos o valor absoluto:
\bigl|\varphi'(x)\bigr| = \tfrac{1}{2}\left|\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right|.
  • Como para qualquer número t vale |\sin t|\le 1, temos
\bigl|\varphi'(x)\bigr|\le \tfrac{1}{2}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Logo podemos escolher L=\tfrac{1}{2}. Como L=\tfrac{1}{2}<1, \varphi tem derivada com módulo no máximo \tfrac{1}{2} em toda a reta, portanto é Lipschitz com constante \tfrac{1}{2} em \mathbb{R}.

Passo 5

Aplicar o argumento da contração (explicado de modo simples)
  • Pelo Lema do valor médio (ou pela propriedade da derivada limitada), para quaisquer x,y existe c entre x e y tal que
\varphi(x)-\varphi(y)=\varphi'\text{(c)}(x-y).
Tomando valores absolutos e usando o limite da derivada, obtemos
|\varphi(x)-\varphi(y)| = |\varphi'\text{(c)}|\,|x-y|\le \tfrac{1}{2}|x-y|.
  • Portanto \varphi é uma contração global com constante L=\tfrac{1}{2}. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach:
    • Existe exatamente um ponto x^* tal que \varphi(x^*)=x^*.
    • Para qualquer chute inicial x_0\in\mathbb{R}, a sequência definida por x_{n+1}=\varphi(x_n) converge para esse único x^*.
  • Em palavras mais amigas: a função “puxa” distâncias pela metade no máximo a cada iteração, então os termos vão ficando cada vez mais próximos e convergem para um ponto fixo único.

Passo 6

Escrever explicitamente a equação que o algoritmo resolve e comentar sobre solução numérica
  • A equação do ponto fixo é
x=\varphi(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Essa é a equação que o algoritmo iterativo resolve: qualquer limite x^* satisfaz
x^*=\cos\!\left(\frac{x^*}{2}\right).
  • Observação prática: não existe uma fórmula fechada elementar para resolver x=\cos(x/2), por isso usamos iteração numérica (o próprio método de ponto fixo) ou outros métodos numéricos para obter uma aproximação do valor de x^*. Como \varphi é contração com L=\tfrac{1}{2}, a convergência é linear e rápida, e há também estimativas de erro do tipo
|x_n-x^*|\le \frac{L^n}{1-L}|x_1-x_0|
que permitem controlar quantas iterações precisar para atingir uma precisão desejada.

Passo 7

Resolver o sistema linear (método de eliminação simples, passo a passo)
  • Sistema:
\begin{aligned} &4x-y=3,\\\ &2x+y=3. \end{aligned}
  • Soma as duas equações para eliminar y: somando membro a membro,
(4x-y)+(2x+y)=3+3.
  • No lado esquerdo, os termos em y se anulam: 4x-y+2x+y=6x. No lado direito, 3+3=6. Logo,
6x=6.
  • Divide ambos os lados por 6:
x=1.
  • Agora substitua x=1 em uma das equações para encontrar y. Usando a segunda equação 2x+y=3:
2\cdot 1 + y = 3 \quad\Rightarrow\quad 2 + y = 3.
  • Isolando y:
y=3-2=1.
  • Conclusão: a solução do sistema é x=1 e y=1. Sempre é bom checar substituindo na primeira equação: 4\cdot 1 - 1 = 3 (ok).

Resposta

  1. O algoritmo converge globalmente (para qualquer x_0) porque \varphi'(x)=-\tfrac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right) tem |\varphi'(x)|\le\tfrac{1}{2}<1; a equação que ele resolve é x=\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
  2. x=1,\;y=1.

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