Usando polinômios interpoladores, encontre uma aproximação para f(2.5).
x
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
f(x)
0.5103757
0.5207843
0.5104147
0.4813306
0.4359160
(a) Encontre o polinômio de grau 2 resolvendo o sistema linear.
(b) Encontre polinômios de graus 2, 3 e 4 pela forma de Lagrange.
(c) Encontre polinômios de graus 2, 3 e 4 pela forma de Newton.
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação de f(2{,}5) usando polinômios interpoladores a partir da tabela abaixo:
(a) Encontrar o polinômio de grau 2 resolvendo o sistema linear (ou seja, determinar os coeficientes do polinômio quadrático que interpola três pontos e avaliar em x=2{,}5).
(b) Encontrar polinômios de graus 2, 3 e 4 pela forma de Lagrange e usar esses polinômios para aproximar f(2{,}5).
(c) Fazer o mesmo (graus 2, 3 e 4) usando a forma de Newton (diferenças divididas).
Dados que vou usar (escolhas naturais para interpolar perto de 2{,}5):
Para grau 2: usarei os três pontos mais próximos de 2{,}5: x=2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6.
Para grau 3: usarei x=2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6,\;2{,}8.
Para grau 4: usarei todos os cinco pontos x=2{,}0,\;2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6,\;2{,}8.
Agora começa a resolução passo a passo — eu vou explicar cada fórmula e cada conta devagar, como se estivéssemos fazendo isso juntos na prova.
Passo 2
(a) Método: montar e resolver o sistema linear para um polinômio quadrático genérico.
Queremos um polinômio
p(x)=A + Bx + Cx^2
que satisfaça [p(x_i)=y_i) para os três pontos (x_i,y_i) escolhidos: (2{,}2,0{,}5207843), (2{,}4,0{,}5104147), (2{,}6,0{,}4813306).
Escrevendo o sistema:
\begin{cases} A + 2{,}2B + 4{,}84C = 0{,}5207843\\[4pt] A + 2{,}4B + 5{,}76C = 0{,}5104147\\[4pt] A + 2{,}6B + 6{,}76C = 0{,}4813306 \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira obtemos equações para B\] e \(C:
Fazendo as multiplicações e somas (mostrei as contas no desenvolvimento) obtenho
P^{(3)}(2{,}5)=0{,}4980629625.
Finalmente grau 4 usando todos os cinco pontos 2{,}0,2{,}2,2{,}4,2{,}6,2{,}8. As bases \ell_i(2{,}5) (novamente usando simetria/harmonia da malha) resultaram em:
onde f[x_i,\dots,x_j] são as diferenças divididas. Essa forma é útil porque, dada a tabela de diferenças, avaliamos N(x) por produto aninhado (fácil e estável).
Vou mostrar as diferenças divididas necessárias e a avaliação em x=2{,}5.
Usando a forma aninhada e avaliando em x=2{,}5 (veja contas no desenvolvimento), obtenho
N_4(2{,}5)=0{,}49807046953125.
Como era de esperar, os resultados obtidos por Newton coincidem com os de Lagrange (mesmo polinômio, outra fórmula): para cada grau os valores em 2{,}5 são os mesmos.