Usando polinômios interpoladores, encontre uma aproximação para f(2.5).
x 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
f(x) 0.5103757 0.5207843 0.5104147 0.4813306 0.4359160
(a) Encontre o polinômio de grau 2 resolvendo o sistema linear.
(b) Encontre polinômios de graus 2, 3 e 4 pela forma de Lagrange.
(c) Encontre polinômios de graus 2, 3 e 4 pela forma de Newton.

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação de f(2{,}5) usando polinômios interpoladores a partir da tabela abaixo:
\begin{array}{c|ccccc} x & 2{,}0 & 2{,}2 & 2{,}4 & 2{,}6 & 2{,}8\\hline f(x) & 0{,}5103757 & 0{,}5207843 & 0{,}5104147 & 0{,}4813306 & 0{,}4359160 \end{array}
As perguntas são:
  • (a) Encontrar o polinômio de grau 2 resolvendo o sistema linear (ou seja, determinar os coeficientes do polinômio quadrático que interpola três pontos e avaliar em x=2{,}5).
  • (b) Encontrar polinômios de graus 2, 3 e 4 pela forma de Lagrange e usar esses polinômios para aproximar f(2{,}5).
  • (c) Fazer o mesmo (graus 2, 3 e 4) usando a forma de Newton (diferenças divididas).
Dados que vou usar (escolhas naturais para interpolar perto de 2{,}5):
  • Para grau 2: usarei os três pontos mais próximos de 2{,}5: x=2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6.
  • Para grau 3: usarei x=2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6,\;2{,}8.
  • Para grau 4: usarei todos os cinco pontos x=2{,}0,\;2{,}2,\;2{,}4,\;2{,}6,\;2{,}8.
Agora começa a resolução passo a passo — eu vou explicar cada fórmula e cada conta devagar, como se estivéssemos fazendo isso juntos na prova.

Passo 2

(a) Método: montar e resolver o sistema linear para um polinômio quadrático genérico.
Queremos um polinômio
p(x)=A + Bx + Cx^2
que satisfaça [p(x_i)=y_i) para os três pontos (x_i,y_i) escolhidos: (2{,}2,0{,}5207843), (2{,}4,0{,}5104147), (2{,}6,0{,}4813306).
Escrevendo o sistema:
\begin{cases} A + 2{,}2B + 4{,}84C = 0{,}5207843\\[4pt] A + 2{,}4B + 5{,}76C = 0{,}5104147\\[4pt] A + 2{,}6B + 6{,}76C = 0{,}4813306 \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira obtemos equações para B\] e \(C:
\begin{aligned} (2)-(1):\;& 0{,}2B + 0{,}92C = -0{,}0103696,\\\ (3)-(2):\;& 0{,}2B + 1{,}00C = -0{,}0290841. \end{aligned}
Subtraindo essas duas equações para eliminar B:
0{,}08C = -0{,}0187145 \quad\Rightarrow\quad C = \frac{-0{,}0187145}{0{,}08} = -0{,}23393125.
Voltando para uma das equações para obter B:
0{,}2B = -0{,}0290841 - C = -0{,}0290841 - (-0{,}23393125) = 0{,}20484715,
logo
B = \frac{0{,}20484715}{0{,}2} = 1{,}02423575.
Finalmente obtemos A pela primeira equação:
A = 0{,}5207843 - 2{,}2B - 4{,}84C.
Fazendo as multiplicações (com cuidado nos sinais):
2{,}2B = 2{,}25331865,\qquad 4{,}84C = 4{,}84\cdot(-0{,}23393125) = -1{,}13222725,
portanto
A = 0{,}5207843 - 2{,}25331865 + 1{,}13222725 = -0{,}6003071.
Assim o polinômio quadrático encontrado é
p_2(x) = -0{,}6003071 + 1{,}02423575\,x - 0{,}23393125\,x^2.
Agora avalio em x=2{,}5. Faço as contas passo a passo:
p_2(2{,}5) = A + B\cdot 2{,}5 + C\cdot (2{,}5)^2.
B\cdot 2{,}5 = 1{,}02423575\cdot 2{,}5 = 2{,}560589375,
C\cdot (2{,}5)^2 = -0{,}23393125\cdot 6{,}25 = -1{,}4620703125.
Somando:
p_2(2{,}5) = -0{,}6003071 + 2{,}560589375 -1{,}4620703125 = 0{,}4982119625.
Esse é o resultado do item (a): o polinômio quadrático (coeficientes acima) e p_2(2{,}5)\approx 0{,}4982119625.]

Passo 3

(b) Forma de Lagrange — explicação rápida da fórmula e aplicação.
A forma de Lagrange para interpolar n+1 pontos (x_i,y_i) dá o valor do polinômio interpolador em x como
P(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i\,\ell_i(x), \qquad \ell_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui não precisamos expandir o polinômio; basta calcular P(2{,}5) com os nodos escolhidos.
Primeiro, grau 2 com os pontos 2{,}2,2{,}4,2{,}6 (mesma escolha do item (a)). Calculei os polinômios base em x=2{,}5:
\ell_{2{,}2}(2{,}5) = -0{,}125,\quad \ell_{2{,}4}(2{,}5) = 0{,}75,\quad \ell_{2{,}6}(2{,}5) = 0{,}375.
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P^{(2)}(2{,}5)=0{,}5207843(-0{,}125)+0{,}5104147(0{,}75)+0{,}4813306(0{,}375) =0{,}4982119625,
que coincide com o resultado do item (a) (óbvio: é o mesmo polinômio de grau 2).
Agora grau 3 com os pontos 2{,}2,2{,}4,2{,}6,2{,}8. Calculei as \ell_i(2{,}5) (valores fáceis porque os nós estão em malha uniforme de passo 0{,}2):
\ell_{2{,}2}(2{,}5)=-0{,}0625,\quad \ell_{2{,}4}(2{,}5)=0{,}5625,\quad \ell_{2{,}6}(2{,}5)=0{,}5625,\quad \ell_{2{,}8}(2{,}5)=-0{,}0625.
Então
P^{(3)}(2{,}5)=0{,}5207843(-0{,}0625)+0{,}5104147(0{,}5625)+0{,}4813306(0{,}5625)+0{,}4359160(-0{,}0625).
Fazendo as multiplicações e somas (mostrei as contas no desenvolvimento) obtenho
P^{(3)}(2{,}5)=0{,}4980629625.
Finalmente grau 4 usando todos os cinco pontos 2{,}0,2{,}2,2{,}4,2{,}6,2{,}8. As bases \ell_i(2{,}5) (novamente usando simetria/harmonia da malha) resultaram em:
\ell_{2{,}0}(2{,}5)=0{,}0234375,\quad \ell_{2{,}2}(2{,}5)=-0{,}15625,\quad \ell_{2{,}4}(2{,}5)=0{,}703125,
\ell_{2{,}6}(2{,}5)=0{,}46875,\quad \ell_{2{,}8}(2{,}5)=-0{,}0390625.
Multiplicando por y_i e somando:
P^{(4)}(2{,}5)\approx 0{,}49807046953125.
Resumo das aproximações via Lagrange:
\begin{aligned} \text{grau }2:\\ &0{,}4982119625,\\\ \text{grau }3:\\ &0{,}4980629625,\\\ \text{grau }4:\\ &0{,}4980704695. \end{aligned}
Perceba que as aproximações ficam muito próximas entre si — sinal de que os dados são suaves e a interpolação perto de 2{,}5 é confiável.

Passo 4

(c) Forma de Newton — ideia e cálculo por diferenças divididas.
A forma de Newton constrói o polinômio como
N(x)=f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots
onde f[x_i,\dots,x_j] são as diferenças divididas. Essa forma é útil porque, dada a tabela de diferenças, avaliamos N(x) por produto aninhado (fácil e estável).
Vou mostrar as diferenças divididas necessárias e a avaliação em x=2{,}5.
Para grau 2 com nós 2{,}2,2{,}4,2{,}6:
\begin{aligned} f[2{,}2] &= 0{,}5207843,\\\ f[2{,}2,2{,}4] &= \frac{0{,}5104147-0{,}5207843}{0{,}2} = -0{,}051848,\\\ f[2{,}2,2{,}4,2{,}6] &= \frac{-0{,}1454205 - (-0{,}051848)}{0{,}4} = -0{,}23393125. \end{aligned}
(Fácil ver que esses números coincidem com os coeficientes que obtivemos resolvendo o sistema.)
A forma de Newton centrada em x_0=2{,}2 é
N_2(x)=0{,}5207843 -0{,}051848(x-2{,}2) -0{,}23393125(x-2{,}2)(x-2{,}4).
Avalio em x=2{,}5:
N_2(2{,}5)=0{,}5207843 -0{,}051848\cdot 0{,}3 -0{,}23393125\cdot 0{,}3\cdot 0{,}1 =0{,}4982119625.
Para grau 3 com nós 2{,}2,2{,}4,2{,}6,2{,}8 construí a tabela de diferenças divididas (já detalhada no desenvolvimento). Os coeficientes resultaram em
f[2{,}2]=0{,}5207843,\quad f[2{,}2,2{,}4]=-0{,}051848,\quad f[2{,}2,2{,}4,2{,}6]=-0{,}23393125,\quad f[2{,}2,\dots,2{,}8]=0{,}0496666666667.
A forma de Newton dá, ao avaliar em 2{,}5,
N_3(2{,}5)=0{,}5207843 -0{,}051848\cdot 0{,}3 -0{,}23393125\cdot 0{,}3\cdot 0{,}1 +0{,}0496666666667\cdot 0{,}3\cdot 0{,}1\cdot(-0{,}1),
que resulta em
N_3(2{,}5)=0{,}4980629625.
Para grau 4 com todos os cinco nós 2{,}0 até 2{,}8, a tabela completa de diferenças divididas (calculei) fornece os coeficientes
\begin{aligned} &f[2{,}0]=0{,}5103757,\quad f[2{,}0,2{,}2]=0{,}052043,\\\ &f[2{,}0,2{,}2,2{,}4]=-0{,}2597275,\quad f[2{,}0,\dots,2{,}6]=0{,}04299375,\\\ &f[2{,}0,\dots,2{,}8]=0{,}008341145833375. \end{aligned}
Usando a forma aninhada e avaliando em x=2{,}5 (veja contas no desenvolvimento), obtenho
N_4(2{,}5)=0{,}49807046953125.
Como era de esperar, os resultados obtidos por Newton coincidem com os de Lagrange (mesmo polinômio, outra fórmula): para cada grau os valores em 2{,}5 são os mesmos.

Resposta

(a) p_2(x)=-0{,}6003071 + 1{,}02423575\,x - 0{,}23393125\,x^2,\quad p_2(2{,}5)=0{,}4982119625.
(b) Lagrange:
\text{grau }2:\;P^{(2)}(2{,}5)=0{,}4982119625
\text{grau }3:\;P^{(3)}(2{,}5)=0{,}4980629625
\text{grau }4:\;P^{(4)}(2{,}5)=0{,}4980704695.
(c) Newton (diferenças divididas):
\text{grau }2:\;N_2(2{,}5)=0{,}4982119625
\text{grau }3:\;N_3(2{,}5)=0{,}4980629625
\text{grau }4:\;N_4(2{,}5)=0{,}4980704695.

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