Em uma determinada reação química em fase gasosa foram obtidos os seguintes parâmetros de Arrhenius: \mathrm{Ea}=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} e \mathrm{A}=5,01 \times 10^{10} \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s}. (a) Qual o valor da constante de velocidade desta reação? (b) Em qual temperatura a reação irá ocorrer com o dobro da velocidade?
Resposta: (a) k=9,27 \times 10^{9} \mathrm{~L} / \mathrm{mol} . \mathrm{s}; (b) 503 K

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Energia de ativação: \mathrm{Ea}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/mol}.
    • Fator pré-exponencial: A=5{,}01\times10^{10}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}.
  • O enunciado pede:
    • (a) Calcular a constante de velocidade k da reação (em que temperatura?).
    • (b) Determinar a temperatura em que a reação terá o dobro da velocidade (isto é, k_2=2k_1).
Observação importante (necessária para resolver numericamente): o enunciado não explicitou a temperatura em que devemos calcular k. Para obter um valor numérico para (a) é preciso escolher uma temperatura. Vou assumir a temperatura padrão de laboratório 25^\circ\mathrm{C}, isto é, T_1=298\\ \mathrm{K}. Essa é uma escolha comum quando não é informado outro valor e leva aos resultados numéricos que o enunciado de referência indica.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar e explico cada termo (aula rápida e direta).
A equação de Arrhenius é
k = A \, e^{-\mathrm{Ea}/(R T)}.
Explicando cada símbolo:
  • k é a constante de velocidade que queremos.
  • A é o fator pré-exponencial (frequência efetiva de colisões com orientação favorável).
  • \mathrm{Ea} é a energia de ativação (em unidades de energia por mol).
  • R é a constante dos gases ideais; usaremos R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • e é a base dos logaritmos naturais. A expressão e^{-\mathrm{Ea}/(RT)} dá a fração de colisões com energia suficiente para reagir.
Antes de aplicar, precisamos ter todas as unidades consistentes: converter \mathrm{Ea} para joules por mol.

Passo 3

Converter \mathrm{Ea} para \mathrm{J/mol}.
\mathrm{Ea}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/mol}=4{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}=4180\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Calcular k em T_1=298\\ \mathrm{K} usando a equação de Arrhenius passo a passo.
Primeiro calculemos o expoente \dfrac{\mathrm{Ea}}{R T_1}:
\dfrac{\mathrm{Ea}}{R T_1}=\dfrac{4180}{8{,}314\cdot 298}.
Agora a conta do denominador:
8{,}314\cdot 298 \approx 2478{,}572.
Dividindo:
\dfrac{4180}{2478{,}572}\approx 1{,}6869.
Portanto o fator exponencial é
e^{-\mathrm{Ea}/(R T_1)} = e^{-1{,}6869}\approx 0{,}1850.
Multiplicando pelo pré-exponencial A:
k = A \cdot e^{-\mathrm{Ea}/(R T_1)} = 5{,}01\times10^{10}\times 0{,}1850 \approx 9{,}27\times10^{9}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}.
Comentário didático: o passo crítico é transformar a energia de ativação para as mesmas unidades do produto R T (ambos em J/mol e J/(mol·K)·K) e depois calcular o exponencial. Em provas, normalmente usa-se calculadora para as exponenciais; o resto são multiplicações e divisões diretas.

Passo 5

Agora a parte (b): temperatura T_2 em que a reação tem o dobro da velocidade ( k_2=2k_1).
Começamos da razão entre constantes de velocidade usando Arrhenius:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{A e^{-\mathrm{Ea}/(R T_2)}}{A e^{-\mathrm{Ea}/(R T_1)}}=e^{-\mathrm{Ea}/(R T_2)+\mathrm{Ea}/(R T_1)}=e^{\mathrm{Ea}/R\,(1/T_1-1/T_2)}.
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{\mathrm{Ea}}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Para dobrar a velocidade \dfrac{k_2}{k_1}=2, então \ln 2=\dfrac{\mathrm{Ea}}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right). Isolando 1/T_2:
\frac{1}{T_2}=\frac{1}{T_1}-\frac{R}{\mathrm{Ea}}\ln 2.

Passo 6

Agora calculamos numericamente usando T_1=298\\ \mathrm{K}.
Primeiro calcule \dfrac{R}{\mathrm{Ea}}\ln 2:
\frac{R}{\mathrm{Ea}}=\frac{8{,}314}{4180}\approx 0{,}0019909\\ \mathrm{K^{-1}}.
\ln 2 \approx 0{,}693147.
\frac{R}{\mathrm{Ea}}\ln 2 \approx 0{,}0019909\times 0{,}693147 \approx 0{,}0013788\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora:
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{298}\approx 0{,}0033557\\ \mathrm{K^{-1}}.
\frac{1}{T_2}=0{,}0033557-0{,}0013788=0{,}0019769\\ \mathrm{K^{-1}}.
Inverso:
T_2=\frac{1}{0{,}0019769}\approx 505{,}9\\ \mathrm{K}.
Arredondando de forma adequada, obtemos T_2\approx 506\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Resumo do raciocínio para usar na prova (dica prática):
  • Converter \mathrm{Ea} para J/mol.
  • Usar k=A\exp(-\mathrm{Ea}/RT) para calcular k na temperatura dada.
  • Para comparar velocidades ou achar a temperatura que dá uma razão entre constantes, usar a razão k_2/k_1=\exp\big(\mathrm{Ea}/R\,(1/T_1-1/T_2)\big) e tomar logaritmo natural para isolar T_2.
Força aí — você já consegue reproduzir esse passo a passo na prova: plugou os números, calculou o expoente e multiplicou pelo A.

Resposta

(a) k=9{,}27\times10^{9}\\ \mathrm{L/(mol\cdot s)}
(b) T\approx506\\ \mathrm{K}

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