Demostre que os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
V=30 \cos \theta / r^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o potencial
V(r,\theta)=\frac{30\cos\theta}{r^{2}}
satisfaz a equação de Laplace no vazio, ou seja,
\nabla^{2}V=0.
O conteúdo que vamos usar é a forma da Laplaciana em coordenadas esféricas para uma função que não depende de \varphi:
\nabla^{2}V =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}\,\frac{\partial V}{\partial r}\bigr) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(\sin\theta\,\frac{\partial V}{\partial\theta}\bigr).

Passo 2

Calculamos a parte radial da Laplaciana. Primeiro
\frac{\partial V}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(30\,\frac{\cos\theta}{r^{2}}\Bigr) =-60\,\frac{\cos\theta}{r^{3}}.
Multiplicando por r^{2} e derivando em r novamente, obtemos
r^{2}\,\frac{\partial V}{\partial r} =-60\,\frac{\cos\theta}{r},
\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}\,\frac{\partial V}{\partial r}\bigr) =60\,\frac{\cos\theta}{r^{2}}.
Logo, a contribuição radial é
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}\,\frac{\partial V}{\partial r}\bigr) =\frac{60\,\cos\theta}{r^{4}}.

Passo 3

Agora calculamos a parte angular da Laplaciana. Primeiro
\frac{\partial V}{\partial\theta} =\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(30\,\frac{\cos\theta}{r^{2}}\Bigr) =-30\,\frac{\sin\theta}{r^{2}}.
Multiplicando por \sin\theta e derivando em \theta:
\sin\theta\,\frac{\partial V}{\partial\theta} =-30\,\frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}},
\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(\sin\theta\,\frac{\partial V}{\partial\theta}\bigr) =-60\,\frac{\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}.
Portanto, a contribuição angular é
\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(\sin\theta\,\frac{\partial V}{\partial\theta}\bigr) =-\frac{60\,\cos\theta}{r^{4}}.

Passo 4

Somando as partes radial e angular da Laplaciana:
\nabla^{2}V =\frac{60\,\cos\theta}{r^{4}} -\frac{60\,\cos\theta}{r^{4}} =0.
Isso mostra que V satisfaz de fato \nabla^{2}V=0.

Resposta

\nabla^{2}V=0, ou seja, o potencial dado satisfaz a equação de Laplace.

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