Demostre que os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o potencial
satisfaz a equação de Laplace no vazio, ou seja,
O conteúdo que vamos usar é a forma da Laplaciana em coordenadas esféricas para uma função que não depende de
:
Passo 2
Calculamos a parte radial da Laplaciana. Primeiro
Multiplicando por
e derivando em
novamente, obtemos
Logo, a contribuição radial é
Passo 3
Agora calculamos a parte angular da Laplaciana. Primeiro
Multiplicando por
e derivando em
:
Portanto, a contribuição angular é
Passo 4
Somando as partes radial e angular da Laplaciana:
Isso mostra que
satisfaz de fato
.